Дано: Прямоугольник двумя прямолинейными разрезами разбит на четыре малых прямоугольника. Периметры трех из них, начиная с левого верхнего по часовой стрелке, равны 13, 17 и 19. Найти периметр четвертого прямоугольника.

Решение:
1. Обозначим длины сторон малых прямоугольников. Пусть горизонтальный разрез делит высоту исходного прямоугольника на части h1 (верхняя) и h2 (нижняя), а вертикальный разрез делит ширину на части w1 (левая) и w2 (правая).
2. Тогда периметры четырех малых прямоугольников выражаются следующим образом:
Левый верхний: P1 = 2(w1 + h1) = 13
Правый верхний: P2 = 2(w2 + h1) = 17
Правый нижний: P3 = 2(w2 + h2) = 19
Левый нижний: P4 = 2(w1 + h2)
3. Заметим, что сумма периметров противоположных прямоугольников равна:
P1 + P3 = 2(w1 + h1) + 2(w2 + h2) = 2(w1 + h2) + 2(w2 + h1) = P4 + P2
4. Подставим известные значения:
13 + 19 = P4 + 17
32 = P4 + 17
P4 = 15
Ответ: Д (15)

---

Дано: Решить уравнение $\log_{\frac{1}{2}}(2x + 5) - \log_{\frac{1}{2}}13 = \log_{\frac{1}{2}}5$.

Решение:
1. Запишем область допустимых значений (ОДЗ):
2x + 5 > 0
2x > -5
x > -2,5
2. Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:
$$\log_{\frac{1}{2}}\frac{2x + 5}{13} = \log_{\frac{1}{2}}5$$
3. Так как основания логарифмов равны, приравняем их аргументы:
$$\frac{2x + 5}{13} = 5$$
4. Умножим обе части уравнения на 13:
2x + 5 = 65
5. Перенесем 5 в правую часть:
2x = 60
6. Разделим на 2:
x = 30
7. Проверим ОДЗ: 30 > -2,5, условие выполняется.
Ответ: Б (30)

---

Дано: С двух участков собрали 14,7 ц зерна. На следующий год урожай на первом участке повысился на 80%, а на втором - на 24%, всего собрали 21,42 ц. Сколько центнеров зерна собирают с каждого участка после применения новых методов?

Решение:
1. Пусть x - первоначальный сбор зерна с первого участка (в ц), а y - со второго участка (в ц).
2. Составим первое уравнение по условию задачи:
x + y = 14,7
3. После повышения урожайности сбор с первого участка составил 1,8x, а со второго - 1,24y. Составим второе уравнение:
1,8x + 1,24y = 21,42
4. Выразим y из первого уравнения:
y = 14,7 - x
5. Подставим это выражение во второе уравнение:
1,8x + 1,24(14,7 - x) = 21,42
6. Раскроем скобки:
1,8x + 18,228 - 1,24x = 21,42
7. Приведем подобные слагаемые:
0,56x = 21,42 - 18,228
0,56x = 3,192
8. Найдем x:
x = 5,7
9. Найдем y:
y = 14,7 - 5,7 = 9
10. Найдем новый урожай с каждого участка:
Первый участок: 1,8 * 5,7 = 10,26 ц
Второй участок: 1,24 * 9 = 11,16 ц
Ответ: А (10,26 и 11,16)

---

Дано: Вычислить значение выражения $\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}$, если $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$.

Решение:
1. Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin^2\alpha$:
$$\frac{\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\operatorname{ctg}\alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2\alpha}$$
2. Подставим значение $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$ в полученное выражение:
$$\frac{\frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2}$$
3. Вычислим знаменатель:
$$1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$$
4. Разделим числитель на знаменатель:
$$\frac{3}{4} : \frac{7}{16} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{12}{7}$$
Ответ: А ($\frac{12}{7}$)

---

Дано: Найти значение выражения $49^{\log_7 2 - \frac{1}{2}\log_{49} 64}$.

Решение:
1. Упростим вычитаемое в показателе степени, используя свойства логарифма:
$$\frac{1}{2}\log_{49} 64 = \frac{1}{2}\log_{7^2} 8^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} \log_7 8 = \frac{1}{2}\log_7 8 = \log_7 8^{\frac{1}{2}} = \log_7 \sqrt{8} = \log_7 (2\sqrt{2})$$
2. Запишем показатель степени целиком:
$$\log_7 2 - \log_7 (2\sqrt{2}) = \log_7 \frac{2}{2\sqrt{2}} = \log_7 \frac{1}{\sqrt{2}} = \log_7 (2^{-\frac{1}{2}})$$
3. Подставим полученный показатель в исходное выражение:
$$49^{\log_7 (2^{-\frac{1}{2}})} = (7^2)^{\log_7 (2^{-\frac{1}{2}})} = 7^{2\log_7 (2^{-\frac{1}{2}})} = 7^{\log_7 (2^{-\frac{1}{2}})^2} = 7^{\log_7 (2^{-1})} = 2^{-1}$$
Ответ: Б ($2^{-1}$)

---

Дано: Результаты прыжков в высоту: 90, 125, 125, 130, 130, 135, 135, 135, 140, 140, 140, 140. Найти медиану совокупности данных.

Решение:
1. Подсчитаем общее количество элементов в выборке. Всего дано 12 чисел.
2. Поскольку количество элементов четное (N = 12), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (6-го и 7-го членов упорядоченного ряда).
3. Исходный ряд уже упорядочен по возрастанию. Найдем 6-й и 7-й элементы:
6-й элемент равен 135.
7-й элемент равен 135.
4. Вычислим медиану:
(135 + 135) / 2 = 135
Ответ: В (135)

---

Дано: Найти корень уравнения $\sqrt{-16 - 8x} = 4$.

Решение:
1. Возведем обе части уравнения в квадрат:
-16 - 8x = 16
2. Перенесем -16 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
-8x = 16 + 16
-8x = 32
3. Разделим обе части на -8:
x = -4
4. Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:
$$\sqrt{-16 - 8 \cdot (-4)} = \sqrt{-16 + 32} = \sqrt{16} = 4$$
Равенство верно.
Ответ: В (-4)

---

Дано: Упростить выражение $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$.

Решение:
1. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$$7 - 4\sqrt{3} = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$
2. Пусть удвоенное произведение равно $2ab = 4\sqrt{3}$, тогда $ab = 2\sqrt{3}$.
3. Попробуем подобрать значения: a = 2, b = $\sqrt{3}$.
4. Проверим сумму квадратов:
$$a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$$
Это в точности соответствует первому слагаемому под корнем.
5. Запишем подкоренное выражение как квадрат разности:
$$7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2$$
6. Извлечем корень, учитывая, что $2 > \sqrt{3}$:
$$\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$$
Ответ: Г ($2 - \sqrt{3}$)