Дано: Вычислить интеграл $\int \frac{e^x}{x} dx$.
Решение:
1. Интеграл $\int \frac{e^x}{x} dx$ не выражается через элементарные функции.
2. Этот интеграл можно выразить через интегральную показательную функцию $Ei(x)$, которая определяется как $Ei(x) = -\int_{-x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$.
3. Сделаем замену $t = -x$, тогда $x = -t$ и $dx = -dt$.
4. $\int \frac{e^x}{x} dx = \int \frac{e^{-t}}{-t} (-dt) = \int \frac{e^{-t}}{t} dt = -Ei(-x) + C$.
Ответ: $\int \frac{e^x}{x} dx = Ei(x) + C$, где $Ei(x)$ - интегральная показательная функция.