Дано:
Прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов.
AC = 21
$$\operatorname{tg} A = \frac{40}{42}$$

Решение:
1. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, тангенс угла A равен отношению противолежащего катета BC к прилежащему катету AC:
$$\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC}$$
2. Выразим катет BC из этой формулы:
$$BC = AC \cdot \operatorname{tg} A$$
3. Подставим числовые значения для нахождения BC:
$$BC = 21 \cdot \frac{40}{42}$$
4. Сократим дробь и найдем длину BC:
$$BC = 21 \cdot \frac{20}{21} = 20$$
5. Для нахождения гипотенузы AB применим теорему Пифагора:
$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
6. Подставим значения катетов AC = 21 и BC = 20:
$$AB^2 = 21^2 + 20^2$$
7. Вычислим сумму квадратов:
$$AB^2 = 441 + 400 = 841$$
8. Найдем длину стороны AB, извлекая квадратный корень из 841:
$$AB = \sqrt{841} = 29$$

Ответ: AB = 29