Дано:
3) $y'' + 9y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(1) = 6$

Решение:
1. Составим характеристическое уравнение:
$$k^2 + 9 = 0$$
2. Найдем корни характеристического уравнения:
$$k^2 = -9$$
$$k_{1,2} = \pm 3i$$
3. Запишем общее решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)$$
4. Найдем первую производную $y(x)$:
$$y'(x) = -3C_1 \sin(3x) + 3C_2 \cos(3x)$$
5. Используем начальные условия $y(0) = 1$ для нахождения $C_1$:
$$y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = 1$$
$$C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = 1$$
$$C_1 = 1$$
6. Используем начальные условия $y'(1) = 6$ для нахождения $C_2$:
$$y'(1) = -3C_1 \sin(3) + 3C_2 \cos(3) = 6$$
Подставим $C_1 = 1$:
$$-3 \sin(3) + 3C_2 \cos(3) = 6$$
$$3C_2 \cos(3) = 6 + 3 \sin(3)$$
$$C_2 = \frac{6 + 3 \sin(3)}{3 \cos(3)} = \frac{2 + \sin(3)}{\cos(3)}$$
7. Запишем частное решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = \cos(3x) + \frac{2 + \sin(3)}{\cos(3)} \sin(3x)$$

Ответ:
$$y(x) = \cos(3x) + \frac{2 + \sin(3)}{\cos(3)} \sin(3x)$$