Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx$.
Решение:
1. Находим первообразную функции $x^2 + 1$:
$$ \int (x^2 + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x + C $$
2. Вычисляем значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:
$$ \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^1 = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) = \frac{1}{3} + 1 - 0 = \frac{4}{3} $$
Ответ: $\int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \frac{4}{3}$

Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx$.
Решение:
1. Используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
2. Интегрируем:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) \, dx $$
3. Находим первообразную:
$$ \frac{1}{2} \left[ x + \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \sin 0 \right) \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right) = \frac{\pi}{4} $$
Ответ: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx = \frac{\pi}{4}$

Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3x^4 + 3x^2 + 1}{1 + x^2} \, dx$.
Решение:
1. Выполняем деление многочленов:
$$ \frac{3x^4 + 3x^2 + 1}{1 + x^2} = \frac{3x^4 + 3x^2 + 1}{x^2 + 1} = 3x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} $$
2. Интегрируем:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( 3x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} \right) \, dx = \left[ x^3 + \arctan x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \left( \left( \frac{\pi}{4} \right)^3 + \arctan \frac{\pi}{4} \right) - \left( 0^3 + \arctan 0 \right) $$
$$ = \frac{\pi^3}{64} + \arctan \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi^3}{64} + \arctan \frac{\pi}{4} $$
Ответ: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3x^4 + 3x^2 + 1}{1 + x^2} \, dx = \frac{\pi^3}{64} + \arctan \frac{\pi}{4}$

Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{1}^{3} e^{3x} \, dx$.
Решение:
1. Находим первообразную:
$$ \int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$
2. Вычисляем значение первообразной в пределах интегрирования:
$$ \left[ \frac{1}{3} e^{3x} \right]_1^3 = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1} = \frac{1}{3} e^9 - \frac{1}{3} e^3 = \frac{e^9 - e^3}{3} $$
Ответ: $\int_{1}^{3} e^{3x} \, dx = \frac{e^9 - e^3}{3}$

Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin x} \cos x \, dx$.
Решение:
1. Делаем замену $t = \sin x$, тогда $dt = \cos x \, dx$.
2. Меняем пределы интегрирования: если $x = 0$, то $t = \sin 0 = 0$; если $x = \frac{\pi}{2}$, то $t = \sin \frac{\pi}{2} = 1$.
3. Интегрируем:
$$ \int_{0}^{1} \sqrt{t} \, dt = \int_{0}^{1} t^{\frac{1}{2}} \, dt = \left[ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \frac{2}{3} (1^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} (1 - 0) = \frac{2}{3} $$
Ответ: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin x} \cos x \, dx = \frac{2}{3}$

Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{x-1}}$.
Решение:
1. Делаем замену $t = x - 1$, тогда $dt = dx$.
2. Меняем пределы интегрирования: если $x = 2$, то $t = 2 - 1 = 1$; если $x = 6$, то $t = 6 - 1 = 5$.
3. Интегрируем:
$$ \int_{1}^{5} \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int_{1}^{5} t^{-\frac{1}{2}} \, dt = \left[ 2t^{\frac{1}{2}} \right]_1^5 = 2(\sqrt{5} - \sqrt{1}) = 2(\sqrt{5} - 1) $$
Ответ: $\int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{x-1}} = 2(\sqrt{5} - 1)$

Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x + 1}$.
Решение:
1. Умножим числитель и знаменатель на $e^{-x}$:
$$ \int_{0}^{1} \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \, dx $$
2. Сделаем замену $t = 1 + e^{-x}$, тогда $dt = -e^{-x} \, dx$.
3. Меняем пределы интегрирования: если $x = 0$, то $t = 1 + e^0 = 2$; если $x = 1$, то $t = 1 + e^{-1} = 1 + \frac{1}{e}$.
4. Интегрируем:
$$ \int_{2}^{1 + \frac{1}{e}} -\frac{dt}{t} = -\left[ \ln |t| \right]_2^{1 + \frac{1}{e}} = - \left( \ln \left( 1 + \frac{1}{e} \right) - \ln 2 \right) = \ln 2 - \ln \left( 1 + \frac{1}{e} \right) = \ln 2 - \ln \left( \frac{e+1}{e} \right) = \ln 2 - \ln (e+1) + \ln e = \ln 2 - \ln (e+1) + 1 $$
Ответ: $\int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x + 1} = 1 + \ln 2 - \ln(e+1)$

Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{0}^{1} xe^{-x} \, dx$.
Решение:
1. Интегрируем по частям: $u = x$, $dv = e^{-x} \, dx$, тогда $du = dx$, $v = -e^{-x}$.
$$ \int_{0}^{1} xe^{-x} \, dx = \left[ -xe^{-x} \right]_0^1 - \int_{0}^{1} -e^{-x} \, dx = \left[ -xe^{-x} \right]_0^1 + \int_{0}^{1} e^{-x} \, dx = \left[ -xe^{-x} - e^{-x} \right]_0^1 $$
2. Вычисляем значение в пределах интегрирования:
$$ \left[ -xe^{-x} - e^{-x} \right]_0^1 = (-1 \cdot e^{-1} - e^{-1}) - (0 - e^0) = -2e^{-1} + 1 = 1 - \frac{2}{e} $$
Ответ: $\int_{0}^{1} xe^{-x} \, dx = 1 - \frac{2}{e}$

Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} x \cos 3x \, dx$.
Решение:
1. Интегрируем по частям: $u = x$, $dv = \cos 3x \, dx$, тогда $du = dx$, $v = \frac{1}{3} \sin 3x$.
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} x \cos 3x \, dx = \left[ \frac{1}{3} x \sin 3x \right]_0^{\frac{\pi}{6}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3} \sin 3x \, dx = \left[ \frac{1}{3} x \sin 3x + \frac{1}{9} \cos 3x \right]_0^{\frac{\pi}{6}} $$
2. Вычисляем значение в пределах интегрирования:
$$ \left[ \frac{1}{3} x \sin 3x + \frac{1}{9} \cos 3x \right]_0^{\frac{\pi}{6}} = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{9} \cos \frac{\pi}{2} \right) - \left( 0 + \frac{1}{9} \cos 0 \right) = \frac{\pi}{18} \cdot 1 + 0 - \frac{1}{9} = \frac{\pi}{18} - \frac{1}{9} $$
Ответ: $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} x \cos 3x \, dx = \frac{\pi}{18} - \frac{1}{9}$

Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{2}^{3} \frac{\ln x}{x^2} \, dx$.
Решение:
1. Интегрируем по частям: $u = \ln x$, $dv = \frac{1}{x^2} \, dx$, тогда $du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = -\frac{1}{x}$.
$$ \int_{2}^{3} \frac{\ln x}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{\ln x}{x} \right]_2^3 - \int_{2}^{3} -\frac{1}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} \right]_2^3 $$
2. Вычисляем значение в пределах интегрирования:
$$ \left[ -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} \right]_2^3 = \left( -\frac{\ln 3}{3} - \frac{1}{3} \right) - \left( -\frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{2} \right) = -\frac{\ln 3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{\ln 2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\ln 2}{2} - \frac{\ln 3}{3} + \frac{1}{6} $$
Ответ: $\int_{2}^{3} \frac{\ln x}{x^2} \, dx = \frac{\ln 2}{2} - \frac{\ln 3}{3} + \frac{1}{6}$

Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{1}^{e} \ln^3 x \, dx$.
Решение:
1. Интегрируем по частям: $u = \ln^3 x$, $dv = dx$, тогда $du = 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} \, dx$, $v = x$.
$$ \int_{1}^{e} \ln^3 x \, dx = \left[ x \ln^3 x \right]_1^e - \int_{1}^{e} 3 \ln^2 x \, dx = \left[ x \ln^3 x \right]_1^e - 3 \int_{1}^{e} \ln^2 x \, dx $$
2. Интегрируем по частям еще раз: $u = \ln^2 x$, $dv = dx$, тогда $du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \, dx$, $v = x$.
$$ \int_{1}^{e} \ln^2 x \, dx = \left[ x \ln^2 x \right]_1^e - \int_{1}^{e} 2 \ln x \, dx = \left[ x \ln^2 x \right]_1^e - 2 \int_{1}^{e} \ln x \, dx $$
3. Интегрируем по частям еще раз: $u = \ln x$, $dv = dx$, тогда $du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = x$.
$$ \int_{1}^{e} \ln x \, dx = \left[ x \ln x \right]_1^e - \int_{1}^{e} dx = \left[ x \ln x - x \right]_1^e $$
4. Подставляем все обратно:
$$ \int_{1}^{e} \ln x \, dx = \left[ x \ln x - x \right]_1^e = (e \ln e - e) - (1 \ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1 $$
$$ \int_{1}^{e} \ln^2 x \, dx = \left[ x \ln^2 x \right]_1^e - 2 \int_{1}^{e} \ln x \, dx = (e \ln^2 e - 1 \ln^2 1) - 2(1) = e - 2 $$
$$ \int_{1}^{e} \ln^3 x \, dx = \left[ x \ln^3 x \right]_1^e - 3 \int_{1}^{e} \ln^2 x \, dx = (e \ln^3 e - 1 \ln^3 1) - 3(e - 2) = e - 3e + 6 = 6 - 2e $$
Ответ: $\int_{1}^{e} \ln^3 x \, dx = 6 - 2e$

Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{1}^{2} \frac{dx}{2 \cos x + 3}$.
Решение:
Этот интеграл не берется в элементарных функциях.

Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x + x^3}$.
Решение:
1. Выносим $x$ из знаменателя:
$$ \int_{1}^{3} \frac{dx}{x(1 + x^2)} $$
2. Разлагаем на простые дроби:
$$ \frac{1}{x(1 + x^2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{1 + x^2} $$
$$ 1 = A(1 + x^2) + (Bx + C)x = A + Ax^2 + Bx^2 + Cx = (A + B)x^2 + Cx + A $$
$$ A + B = 0, \quad C = 0, \quad A = 1 $$
$$ B = -1, \quad C = 0, \quad A = 1 $$
$$ \frac{1}{x(1 + x^2)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^2} $$
3. Интегрируем: