Дано:
Дифференциальное уравнение $y'' - 3y' + 2y = 0$ с начальными условиями $y(1) = 0$ и $y'(1) = 3$.

Решение:
1. Составим характеристическое уравнение:
$$k^2 - 3k + 2 = 0$$
2. Решим характеристическое уравнение:
$$k^2 - 3k + 2 = (k - 1)(k - 2) = 0$$
Корни: $k_1 = 1$, $k_2 = 2$.
3. Запишем общее решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$$
4. Найдем первую производную $y'(x)$:
$$y'(x) = C_1e^{x} + 2C_2e^{2x}$$
5. Используем начальные условия $y(1) = 0$ и $y'(1) = 3$ для нахождения $C_1$ и $C_2$:
$$y(1) = C_1e^{1} + C_2e^{2 \cdot 1} = C_1e + C_2e^2 = 0$$
$$y'(1) = C_1e^{1} + 2C_2e^{2 \cdot 1} = C_1e + 2C_2e^2 = 3$$
6. Решим систему уравнений:
$$C_1e + C_2e^2 = 0$$
$$C_1e + 2C_2e^2 = 3$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$C_2e^2 = 3$$
$$C_2 = \frac{3}{e^2} = 3e^{-2}$$
Подставим $C_2$ в первое уравнение:
$$C_1e + 3e^{-2}e^2 = 0$$
$$C_1e + 3 = 0$$
$$C_1e = -3$$
$$C_1 = -\frac{3}{e} = -3e^{-1}$$
7. Запишем частное решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = -3e^{-1}e^{x} + 3e^{-2}e^{2x} = -3e^{x-1} + 3e^{2x-2}$$

Ответ:
$$y(x) = -3e^{x-1} + 3e^{2x-2}$$