Дано:
Высота цилиндра $h = 5$ см.
Диагональ осевого сечения $d = 13$ см.

Найти:
Объем цилиндра $V$.
Полную площадь поверхности цилиндра $S_{полн}$.

Решение:
1. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра ($h$) и диаметру основания ($2r$). Диагональ этого прямоугольника ($d$) связана с его сторонами теоремой Пифагора: $(2r)^2 + h^2 = d^2$.
2. Подставим известные значения высоты и диагонали в уравнение:
$(2r)^2 + (5 \text{ см})^2 = (13 \text{ см})^2$
$(2r)^2 + 25 \text{ см}^2 = 169 \text{ см}^2$
3. Найдем квадрат диаметра:
$(2r)^2 = 169 \text{ см}^2 - 25 \text{ см}^2$
$(2r)^2 = 144 \text{ см}^2$
4. Найдем диаметр основания:
$2r = \sqrt{144 \text{ см}^2}$
$2r = 12 \text{ см}$
5. Найдем радиус основания:
$r = \frac{12 \text{ см}}{2}$
$r = 6 \text{ см}$
6. Теперь, зная радиус ($r = 6$ см) и высоту ($h = 5$ см), найдем объем цилиндра по формуле $V = \pi r^2 h$:
$V = \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 5 \text{ см}$
$V = \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см}$
$V = 180\pi \text{ см}^3$
7. Найдем полную площадь поверхности цилиндра по формуле $S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$, или $S_{полн} = 2\pi r(r+h)$:
$S_{полн} = 2\pi \cdot 6 \text{ см} \cdot (6 \text{ см} + 5 \text{ см})$
$S_{полн} = 12\pi \text{ см} \cdot (11 \text{ см})$
$S_{полн} = 132\pi \text{ см}^2$

Ответ:
Объем цилиндра $V = 180\pi$ см³.
Полная площадь поверхности цилиндра $S_{полн} = 132\pi$ см².