Дано: Решить уравнение $x^2 - 4x + 4 = (2x - 7)^2$ по теореме Виета.
Решение:
1. Раскрываем скобки в правой части уравнения:
$x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 28x + 49$
2. Переносим все члены в правую часть уравнения:
$0 = 4x^2 - x^2 - 28x + 4x + 49 - 4$
3. Упрощаем уравнение:
$0 = 3x^2 - 24x + 45$
4. Делим обе части уравнения на 3:
$0 = x^2 - 8x + 15$
5. Применяем теорему Виета. Для квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, где $x_1$ и $x_2$ - корни, справедливы соотношения:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$
В нашем случае $p = -8$ и $q = 15$. Значит,
$x_1 + x_2 = 8$
$x_1 \cdot x_2 = 15$
6. Подбираем корни, удовлетворяющие этим условиям. Заметим, что $3 + 5 = 8$ и $3 \cdot 5 = 15$.
Таким образом, $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
7. Проверка:
Подставим $x = 3$ в исходное уравнение:
$3^2 - 4 \cdot 3 + 4 = (2 \cdot 3 - 7)^2$
$9 - 12 + 4 = (6 - 7)^2$
$1 = (-1)^2$
$1 = 1$ (верно)
Подставим $x = 5$ в исходное уравнение:
$5^2 - 4 \cdot 5 + 4 = (2 \cdot 5 - 7)^2$
$25 - 20 + 4 = (10 - 7)^2$
$9 = 3^2$
$9 = 9$ (верно)
Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.