265.
Дано: Прямоугольный параллелепипед, $a = 6$ см, $c = 4$ см (боковое ребро), угол между диагональю и плоскостью основания $\alpha = 30°$.
Решение:
1. Обозначим диагональ основания как $d$, а диагональ параллелепипеда как $D$.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $D$, диагональю основания $d$ и боковым ребром $c$. Угол между $D$ и $d$ равен $\alpha = 30°$.
3. Тогда $\tan{\alpha} = \frac{c}{d}$, откуда $d = \frac{c}{\tan{\alpha}} = \frac{4}{\tan{30°}} = \frac{4}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{3}$ см.
4. Так как в основании прямоугольник со стороной $a = 6$ см и диагональю $d = 4\sqrt{3}$ см, то вторую сторону основания $b$ можно найти по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$.
5. $b^2 = d^2 - a^2 = (4\sqrt{3})^2 - 6^2 = 16 \cdot 3 - 36 = 48 - 36 = 12$.
6. $b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.
7. Объем параллелепипеда $V = abc = 6 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 = 48\sqrt{3}$ см³.
Ответ: $V = 48\sqrt{3}$ см³.

270.
Дано: Прямой параллелепипед, $S_1 = 63$ см², $S_2 = 108$ см², $c = 9$ см (общее ребро), острый угол основания $\alpha = 45°$.
Решение:
1. Пусть стороны основания $a$ и $b$. Тогда $S_1 = ac = 63$ и $S_2 = bc = 108$.
2. Отсюда $a = \frac{63}{c} = \frac{63}{9} = 7$ см и $b = \frac{108}{c} = \frac{108}{9} = 12$ см.
3. Площадь основания $S_{осн} = ab\sin{\alpha} = 7 \cdot 12 \cdot \sin{45°} = 84 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 42\sqrt{2}$ см².
4. Объем параллелепипеда $V = S_{осн} \cdot c = 42\sqrt{2} \cdot 9 = 378\sqrt{2}$ см³.
Ответ: $V = 378\sqrt{2}$ см³.

283.
Дано: Правильная треугольная призма, все ребра равны $a = 2$ см.
Решение:
1. Площадь основания (правильного треугольника) $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².
2. Высота призмы равна ребру $h = a = 2$ см.
3. Объем призмы $V = S_{осн} \cdot h = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$ см³.
Ответ: $V = 2\sqrt{3}$ см³.

290.
Дано: Прямая призма, основание - прямоугольный треугольник с гипотенузой $c = 8$ см и углом $\alpha = 30°$, объем призмы $V = 48\sqrt{3}$ см³.
Решение:
1. Катеты прямоугольного треугольника: $a = c\sin{\alpha} = 8\sin{30°} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см и $b = c\cos{\alpha} = 8\cos{30°} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
2. Площадь основания $S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см².
3. Высота призмы $h = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{48\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = 6$ см.
4. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P \cdot h = (a + b + c) \cdot h = (4 + 4\sqrt{3} + 8) \cdot 6 = (12 + 4\sqrt{3}) \cdot 6 = 72 + 24\sqrt{3}$ см².
5. Площадь полной поверхности $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 72 + 24\sqrt{3} + 2 \cdot 8\sqrt{3} = 72 + 24\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = 72 + 40\sqrt{3}$ см².
Ответ: $S_{полн} = 72 + 40\sqrt{3}$ см².