Дано: На вход алгоритма подается натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом:
1. Строится четверичная запись числа $N$.
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
    а) если число $N$ делится на 4, то к этой записи дописываются две последние четверичные цифры;
    б) если число $N$ на 4 не делится, то остаток от деления умножается на 2, переводится в четверичную запись и дописывается в конец числа.
Полученная таким образом запись является четверичной записью искомого числа $R$.
3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $11 = 23_4$ результатом является число $2312_4 = 182$, а для исходного числа $12 = 30_4$ это число $3030_4 = 204$.
Укажите максимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, меньшее 369.

Решение:
1.  Определим максимальное число $R$ в четверичной системе счисления, которое меньше 369.
    $369 = a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4^1 + d \cdot 4^0$, где $a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3\}$.
    $369 = 5 \cdot 4^3 + 33 = 5 \cdot 64 + 33$
    $369 = 5 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^2 + 1 = 5 \cdot 64 + 2 \cdot 16 + 1$
    $369 = 5 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^2 + 0 \cdot 4^1 + 1 \cdot 4^0$
    $369 = (1 \cdot 4 + 1) \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^2 + 0 \cdot 4^1 + 1 \cdot 4^0$
    $369 = 1 \cdot 4^4 + 1 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^2 + 0 \cdot 4^1 + 1 \cdot 4^0 = 11201_4$
    Максимальное число $R$ в четверичной системе счисления, которое меньше 369, это $3333_4$.
    $3333_4 = 3 \cdot 4^3 + 3 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0 = 3 \cdot 64 + 3 \cdot 16 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 192 + 48 + 12 + 3 = 255$.
2.  Рассмотрим два случая: когда $N$ делится на 4, и когда $N$ не делится на 4.
    а) Если $N$ делится на 4, то $R = N_{4} + (две\ последние\ цифры\ N_{4})$.
    Пусть $N = x_1 x_2 ... x_n$. Тогда $R = x_1 x_2 ... x_n x_{n-1} x_n$.
    б) Если $N$ не делится на 4, то $R = N_{4} + (остаток \cdot 2)_{4}$.
    Пусть $N = x_1 x_2 ... x_n$. Тогда $R = x_1 x_2 ... x_n (остаток \cdot 2)_{4}$.
3.  Рассмотрим случай, когда $N$ делится на 4.
    Тогда $R = N_{4} + (две\ последние\ цифры\ N_{4})$.
    Пусть $N_{4} = ab$, где $a, b \in \{0, 1, 2, 3\}$. Тогда $R = abba$.
    $R = a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + b \cdot 4^1 + a \cdot 4^0 = 64a + 16b + 4b + a = 65a + 20b$.
    $65a + 20b < 369$.
    $13a + 4b < 73.8$.
    Если $a = 5$, то $65 + 4b < 73.8$, $4b < 8.8$, $b < 2.2$. Максимальное $b = 2$.
    Тогда $N_{4} = 52_4$, что невозможно, так как $5 \notin \{0, 1, 2, 3\}$.
    Если $a = 3$, то $39 + 4b < 73.8$, $4b < 34.8$, $b < 8.7$. Максимальное $b = 3$.
    Тогда $N_{4} = 33_4$, $N = 3 \cdot 4 + 3 = 15$. $R = 3333_4 = 255 < 369$.
    Если $N = 15$, то $N$ не делится на 4.
4.  Рассмотрим случай, когда $N$ не делится на 4.
    Тогда $R = N_{4} + (остаток \cdot 2)_{4}$.
    Пусть $N = x$. Тогда $N_{4} = x_{4}$.
    $N = 4k + r$, где $r \in \{1, 2, 3\}$.
    $R = x_{4} + (2r)_{4}$.
    Если $N = 368$, то $N_{4} = 11320_4$. $N$ делится на 4.
    Если $N = 367$, то $N_{4} = 11313_4$. $N$ не делится на 4. $367 = 4 \cdot 91 + 3$. $r = 3$. $2r = 6 = 12_4$.
    $R = 1131312_4 = 1 \cdot 4^6 + 1 \cdot 4^5 + 3 \cdot 4^4 + 1 \cdot 4^3 + 3 \cdot 4^2 + 1 \cdot 4^1 + 2 \cdot 4^0 = 4096 + 1024 + 3 \cdot 256 + 64 + 3 \cdot 16 + 4 + 2 = 4096 + 1024 + 768 + 64 + 48 + 4 + 2 = 5906 > 369$.
    Если $N = 22$, то $N_{4} = 112_4$. $22 = 4 \cdot 5 + 2$. $r = 2$. $2r = 4 = 10_4$.
    $R = 11210_4 = 1 \cdot 4^4 + 1 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^2 + 1 \cdot 4^1 + 0 \cdot 4^0 = 256 + 64 + 32 + 4 = 356 < 369$.
    Если $N = 23$, то $N_{4} = 113_4$. $23 = 4 \cdot 5 + 3$. $r = 3$. $2r = 6 = 12_4$.
    $R = 11312_4 = 1 \cdot 4^4 + 1 \cdot 4^3 + 3 \cdot 4^2 + 1 \cdot 4^1 + 2 \cdot 4^0 = 256 + 64 + 48 + 4 + 2 = 374 > 369$.
    Если $N = 22$, то $R = 356 < 369$.
    Если $N = 23$, то $R = 374 > 369$.
    Значит, максимальное число $N = 22$.

Ответ: 22