Дано:
Для задачи 125:
Число испытаний $n = 100$.
Вероятность успеха в одном испытании $p = 0.8$.
Вероятность неудачи в одном испытании $q = 0.2$.

Для задачи 128:
Монета брошена $2N$ раз ($N$ велико!).

Решение:

125.
a) Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз.
$k_1 = 75$, $k_2 = 90$.
1. Вычисляем $x'$ и $x''$:
$$x' = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{75 - 100 \cdot 0.8}{\sqrt{100 \cdot 0.8 \cdot 0.2}} = \frac{75 - 80}{\sqrt{16}} = \frac{-5}{4} = -1.25$$
$$x'' = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{90 - 100 \cdot 0.8}{\sqrt{100 \cdot 0.8 \cdot 0.2}} = \frac{90 - 80}{\sqrt{16}} = \frac{10}{4} = 2.5$$
2. Используем интегральную теорему Лапласа:
$P_n(k_1, k_2) = \Phi(x'') - \Phi(x') = \Phi(2.5) - \Phi(-1.25)$
3. Учитываем, что функция Лапласа нечетная: $\Phi(-x) = -\Phi(x)$.
$P_{100}(75; 90) = \Phi(2.5) + \Phi(1.25)$
4. Находим значения функции Лапласа из таблицы:
$\Phi(2.5) = 0.4938$, $\Phi(1.25) = 0.3944$
5. Вычисляем вероятность:
$P_{100}(75; 90) = 0.4938 + 0.3944 = 0.8882$

б) Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз.
$k_1 = 75$, $k_2 = 100$.
1. Вычисляем $x'$ и $x''$:
$$x' = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{75 - 100 \cdot 0.8}{\sqrt{100 \cdot 0.8 \cdot 0.2}} = \frac{75 - 80}{\sqrt{16}} = \frac{-5}{4} = -1.25$$
$$x'' = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{100 - 100 \cdot 0.8}{\sqrt{100 \cdot 0.8 \cdot 0.2}} = \frac{100 - 80}{\sqrt{16}} = \frac{20}{4} = 5$$
2. Используем интегральную теорему Лапласа:
$P_n(k_1, k_2) = \Phi(x'') - \Phi(x') = \Phi(5) - \Phi(-1.25)$
3. Учитываем, что функция Лапласа нечетная: $\Phi(-x) = -\Phi(x)$.
$P_{100}(75; 100) = \Phi(5) + \Phi(1.25)$
4. Находим значения функции Лапласа из таблицы:
$\Phi(5) = 0.5$, $\Phi(1.25) = 0.3944$
5. Вычисляем вероятность:
$P_{100}(75; 100) = 0.5 + 0.3944 = 0.8944$

в) Найти вероятность того, что событие появится не более 74 раз.
События "событие появилось не менее 75 раз" и "событие появилось не более 74 раз" - противоположные.
Сумма вероятностей этих событий равна 1.
$P_{100}(0; 74) = 1 - P_{100}(75; 100) = 1 - 0.8944 = 0.1056$

128.
Найти вероятность того, что число выпадений "герба" будет заключено между числами $N - \sqrt{2N/2}$ и $N + \sqrt{2N/2}$.
1.  Определим параметры:
    Общее число испытаний: $2N$.
    Вероятность выпадения герба: $p = 0.5$.
    Вероятность не выпадения герба: $q = 0.5$.
    Среднее число выпадений герба: $np = 2N \cdot 0.5 = N$.
    Дисперсия: $npq = 2N \cdot 0.5 \cdot 0.5 = \frac{N}{2}$.
    Среднеквадратическое отклонение: $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{\frac{N}{2}}$.
    $k_1 = N - \sqrt{\frac{2N}{2}} = N - \sqrt{N}$
    $k_2 = N + \sqrt{\frac{2N}{2}} = N + \sqrt{N}$

2.  Вычисляем $x'$ и $x''$:
    $$x' = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{N - \sqrt{N} - N}{\sqrt{\frac{N}{2}}} = \frac{-\sqrt{N}}{\sqrt{\frac{N}{2}}} = -\sqrt{2} \approx -1.414$$
    $$x'' = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{N + \sqrt{N} - N}{\sqrt{\frac{N}{2}}} = \frac{\sqrt{N}}{\sqrt{\frac{N}{2}}} = \sqrt{2} \approx 1.414$$

3.  Используем интегральную теорему Лапласа:
    $P_{2N}(k_1, k_2) = \Phi(x'') - \Phi(x') = \Phi(\sqrt{2}) - \Phi(-\sqrt{2})$

4.  Учитываем, что функция Лапласа нечетная: $\Phi(-x) = -\Phi(x)$.
    $P_{2N}(N - \sqrt{N}, N + \sqrt{N}) = \Phi(\sqrt{2}) + \Phi(\sqrt{2}) = 2\Phi(\sqrt{2})$

5.  Находим значение функции Лапласа из таблицы:
    $\Phi(\sqrt{2}) = \Phi(1.414) \approx 0.421$

6.  Вычисляем вероятность:
    $P_{2N}(N - \sqrt{N}, N + \sqrt{N}) = 2 \cdot 0.421 = 0.842$

Ответ:
125.
a) $P_{100}(75; 90) = 0.8882$
б) $P_{100}(75; 100) = 0.8944$
в) $P_{100}(0; 74) = 0.1056$
128. $P_{2N}(N - \sqrt{N}, N + \sqrt{N}) = 0.842$