Решаю задание 1.

Дано: Отрезки MK и OD пересекаются в точке E и делятся ею пополам.
Доказать: MO = DK.

Решение:
1. Из условия задачи известно, что отрезки MK и OD пересекаются в точке E и делятся ею пополам. Это означает, что точка E является серединой каждого из отрезков.
2. Следовательно, $ME = EK$ и $OE = ED$.
3. Рассмотрим треугольники $\Delta MOE$ и $\Delta DKE$.
4. Угол $\angle MOE$ и угол $\angle DKE$ являются вертикальными углами, так как они образованы пересечением прямых MK и OD. Вертикальные углы равны, поэтому $\angle MOE = \angle DKE$.
5. Мы имеем:
    * $ME = EK$ (по условию, E - середина MK)
    * $OE = ED$ (по условию, E - середина OD)
    * $\angle MOE = \angle DKE$ (как вертикальные углы)
6. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники $\Delta MOE$ и $\Delta DKE$ равны.
7. Из равенства треугольников $\Delta MOE = \Delta DKE$ следует равенство соответствующих сторон.
8. Следовательно, $MO = DK$.

Ответ: Доказано, что $MO = DK$.

Решаю задание 2.

Дано: В $\Delta ANC$, $AN = CN$, $NE$ - медиана, $\angle CNE = 35^\circ$.
Найти: $\angle ANC$.

Решение:
1. В треугольнике $\Delta ANC$ дано, что $AN = CN$. Это означает, что треугольник $\Delta ANC$ является равнобедренным с основанием $AC$.
2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой.
3. Однако, $NE$ - медиана, но не указано, к какой стороне она проведена. Если $NE$ - медиана, проведенная к стороне $AC$, то она будет также биссектрисой угла $\angle ANC$.
4. Если $NE$ - медиана, проведенная к стороне $AC$, то $AE = EC$.
5. В этом случае, $NE$ является биссектрисой угла $\angle ANC$, то есть $\angle ANE = \angle CNE$.
6. Дано, что $\angle CNE = 35^\circ$.
7. Тогда $\angle ANE = 35^\circ$.
8. Угол $\angle ANC$ состоит из углов $\angle ANE$ и $\angle CNE$.
9. $\angle ANC = \angle ANE + \angle CNE = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$.

Ответ: $\angle ANC = 70^\circ$.

Решаю задание 3.

Дано: Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 см. Его основание больше боковой стороны на 3 см.
Найти: Стороны треугольника.

Решение:
1. Пусть $a$ - длина боковой стороны равнобедренного треугольника.
2. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны, поэтому их длины будут $a$ и $a$.
3. Пусть $b$ - длина основания треугольника.
4. По условию, основание больше боковой стороны на 3 см, то есть $b = a + 3$.
5. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + a + b$.
6. Подставим известные значения в формулу периметра: $15,6 = 2a + (a + 3)$.
7. Упростим уравнение: $15,6 = 3a + 3$.
8. Вычтем 3 из обеих частей уравнения: $15,6 - 3 = 3a$.
9. $12,6 = 3a$.
10. Разделим обе части на 3, чтобы найти $a$: $a = \frac{12,6}{3}$.
11. $a = 4,2$ см.
12. Теперь найдем длину основания $b$: $b = a + 3 = 4,2 + 3 = 7,2$ см.
13. Проверим периметр: $P = 4,2 + 4,2 + 7,2 = 8,4 + 7,2 = 15,6$ см. Это соответствует условию.

Ответ: Боковые стороны треугольника равны 4,2 см, основание равно 7,2 см.

Решаю задание 4.

Дано: $MP = NK$ и $MN = PK$.
Доказать: $\angle MPK = \angle MNK$.

Решение:
1. Рассмотрим четырехугольник $MPKN$.
2. Дано, что $MP = NK$ и $MN = PK$.
3. Это означает, что противоположные стороны четырехугольника $MPKN$ попарно равны.
4. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
5. Проведем диагональ $MK$.
6. Рассмотрим треугольники $\Delta MPK$ и $\Delta KNM$.
7. У нас есть:
    * $MP = NK$ (дано)
    * $PK = MN$ (дано)
    * $MK$ - общая сторона для обоих треугольников.
8. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольники $\Delta MPK$ и $\Delta KNM$ равны.
9. Из равенства треугольников $\Delta MPK = \Delta KNM$ следует равенство соответствующих углов.
10. Следовательно, $\angle MPK = \angle KNM$.
11. Угол $\angle KNM$ - это то же самое, что $\angle MNK$.
12. Таким образом, $\angle MPK = \angle MNK$.

Ответ: Доказано, что $\angle MPK = \angle MNK$.