Дано:
Из точки $M$ вне окружности проведены секущая и касательная. Секущая пересекает окружность в точках $C$ и $D$ ($D$ между $M$ и $C$), касательная касается окружности в точке $N$. $\angle NMC = 51°$, $\angle NDC = 101°$.

Решение:
1. $\angle NDC$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $NC$. Значит, дуга $NC$ равна удвоенному углу $NDC$:
$$ \stackrel{\smile}{NC} = 2 \cdot \angle NDC = 2 \cdot 101° = 202° $$
2. $\angle MNC$ - угол между касательной и секущей, равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла. В данном случае это дуги $NC$ и $ND$.
$$ \angle NMC = \frac{1}{2} (\stackrel{\smile}{NC} - \stackrel{\smile}{ND}) $$
3. Выразим дугу $ND$ из этого уравнения:
$$ \stackrel{\smile}{ND} = \stackrel{\smile}{NC} - 2 \cdot \angle NMC = 202° - 2 \cdot 51° = 202° - 102° = 100° $$
4. $\angle NCD$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $ND$. Значит, он равен половине этой дуги:
$$ \angle NCD = \frac{1}{2} \stackrel{\smile}{ND} = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50° $$

Ответ: $\angle NCD = 50°$.