1.
Дано: Выражение $(4a^3 + 5)^2 + (4a^3 - 1)^2 - 2(4a^3 + 5)(4a^3 - 1)$ и $a = 3\frac{2}{3}$.
Решение:
1. Упростим выражение, используя формулу сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Заметим, что данное выражение можно представить в виде $(4a^3 + 5)^2 - 2(4a^3 + 5)(4a^3 - 1) + (4a^3 - 1)^2$.
2. Тогда выражение можно упростить до $((4a^3 + 5) - (4a^3 - 1))^2$.
3. Раскроем скобки: $(4a^3 + 5 - 4a^3 + 1)^2 = (6)^2 = 36$.
4. Подставим значение $a = 3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$. Так как в упрощенном выражении нет переменной $a$, то значение выражения не зависит от $a$.
Ответ: 36

2.
Дано: Выражение $\frac{(5 \cdot 3^{20} + (-3)^{21}) \cdot 2^{38}}{12^{20}}$.
Решение:
1. Преобразуем выражение: $\frac{(5 \cdot 3^{20} - 3^{21}) \cdot 2^{38}}{12^{20}} = \frac{(5 \cdot 3^{20} - 3 \cdot 3^{20}) \cdot 2^{38}}{(3 \cdot 4)^{20}} = \frac{(2 \cdot 3^{20}) \cdot 2^{38}}{3^{20} \cdot 4^{20}}$.
2. Продолжим упрощение: $\frac{2 \cdot 3^{20} \cdot 2^{38}}{3^{20} \cdot (2^2)^{20}} = \frac{2 \cdot 3^{20} \cdot 2^{38}}{3^{20} \cdot 2^{40}} = \frac{2 \cdot 2^{38}}{2^{40}} = \frac{2^{39}}{2^{40}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

3.
а)
Дано: Уравнение $16x^3 = 9x$.
Решение:
1. Перенесем все в одну сторону: $16x^3 - 9x = 0$.
2. Вынесем $x$ за скобки: $x(16x^2 - 9) = 0$.
3. Разложим на множители: $x(4x - 3)(4x + 3) = 0$.
4. Найдем корни: $x = 0$, $4x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$, $4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $x = 0, x = \frac{3}{4}, x = -\frac{3}{4}$

б)
Дано: Уравнение $x^2 - (7x - 4)^2 = 0$.
Решение:
1. Разложим на множители, используя формулу разности квадратов: $(x - (7x - 4))(x + (7x - 4)) = 0$.
2. Упростим: $(x - 7x + 4)(x + 7x - 4) = 0$.
3. $(-6x + 4)(8x - 4) = 0$.
4. Найдем корни: $-6x + 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $8x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{2}$

в)
Дано: Уравнение $-6|2x - 5| = -36$.
Решение:
1. Разделим обе части на -6: $|2x - 5| = 6$.
2. Рассмотрим два случая:
    * $2x - 5 = 6 \Rightarrow 2x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{2} = 5.5$.
    * $2x - 5 = -6 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} = -0.5$.
Ответ: $x = 5.5, x = -0.5$

4.
Дано: Система уравнений
$$
\begin{cases}
2x + y - 3 = 0, \\
x + 2y = 6.
\end{cases}
$$
Решение:
1. Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 3 - 2x$.
2. Подставим во второе уравнение: $x + 2(3 - 2x) = 6$.
3. $x + 6 - 4x = 6$.
4. $-3x = 0$.
5. $x = 0$.
6. Подставим $x = 0$ в $y = 3 - 2x$: $y = 3 - 2(0) = 3$.
Ответ: $x = 0, y = 3$

5.
а)
Дано: Система уравнений
$$
\begin{cases}
2(x + y) = 8, \\
14 - 3(x - y) = 5y - x.
\end{cases}
$$
Решение:
1. Упростим первое уравнение: $x + y = 4 \Rightarrow y = 4 - x$.
2. Упростим второе уравнение: $14 - 3x + 3y = 5y - x$.
3. $14 - 2x = 2y$.
4. $7 - x = y$.
5. Подставим $y = 4 - x$ в $7 - x = y$: $7 - x = 4 - x$.
6. $7 = 4$. Это неверно, значит, система не имеет решений.
Ответ: Решений нет.

б)
Дано: Система уравнений
$$
\begin{cases}
\frac{x}{3} - \frac{y - 2x}{5} = 1\frac{1}{3}, \\
\frac{y}{2} + \frac{5}{6} = \frac{x + y}{3}.
\end{cases}
$$
Решение:
1. Преобразуем первое уравнение: $\frac{x}{3} - \frac{y - 2x}{5} = \frac{4}{3}$.
2. Умножим обе части на 15: $5x - 3(y - 2x) = 20$.
3. $5x - 3y + 6x = 20$.
4. $11x - 3y = 20$.
5. Преобразуем второе уравнение: $\frac{y}{2} + \frac{5}{6} = \frac{x + y}{3}$.
6. Умножим обе части на 6: $3y + 5 = 2(x + y)$.
7. $3y + 5 = 2x + 2y$.
8. $y = 2x - 5$.
9. Подставим $y = 2x - 5$ в $11x - 3y = 20$: $11x - 3(2x - 5) = 20$.
10. $11x - 6x + 15 = 20$.
11. $5x = 5$.
12. $x = 1$.
13. Подставим $x = 1$ в $y = 2x - 5$: $y = 2(1) - 5 = -3$.
Ответ: $x = 1, y = -3$

6.
Дано: Завод должен выполнить заказ за 20 дней, но выполнил за 18 дней, перевыполнив план на 6 машин, выпуская ежедневно на 3 машины сверх плана.
Решение:
1. Пусть $x$ - количество машин, которое завод должен был выпускать ежедневно по плану.
2. Тогда $20x$ - общее количество машин по плану.
3. Фактически завод выпускал $x + 3$ машины в день, и выпустил $18(x + 3)$ машин.
4. Из условия следует, что $18(x + 3) = 20x + 6$.
5. $18x + 54 = 20x + 6$.
6. $2x = 48$.
7. $x = 24$.
8. Общее количество машин, выпущенных заводом: $20x + 6 = 20(24) + 6 = 480 + 6 = 486$.
Ответ: 486 машин.

7.
Дано: Прямые $y = 2 - 3x$ и $y = 4a + 2x$. Точка пересечения находится во второй координатной четверти.
Решение:
1. Найдем точку пересечения прямых, приравняв уравнения: $2 - 3x = 4a + 2x$.
2. $5x = 2 - 4a$.
3. $x = \frac{2 - 4a}{5}$.
4. Подставим $x$ в первое уравнение: $y = 2 - 3(\frac{2 - 4a}{5}) = 2 - \frac{6 - 12a}{5} = \frac{10 - 6 + 12a}{5} = \frac{4 + 12a}{5}$.
5. Точка пересечения $(\frac{2 - 4a}{5}, \frac{4 + 12a}{5})$.
6. Вторая координатная четверть: $x <?> 0$.
7. $\frac{2 - 4a}{5} <?> 2 \Rightarrow a > \frac{1}{2}$.
8. $\frac{4 + 12a}{5} > 0 \Rightarrow 4 + 12a > 0 \Rightarrow 12a > -4 \Rightarrow a > -\frac{1}{3}$.
9. Оба условия должны выполняться, значит $a > \frac{1}{2}$.
Ответ: $a > \frac{1}{2}$

8.
Дано: Уравнение $2ax + 9 - 6x - a^2 = 0$.
Решение:
1. Перегруппируем уравнение: $2ax - 6x = a^2 - 9$.
2. Вынесем $x$ за скобки: $x(2a - 6) = (a - 3)(a + 3)$.
3. Если $2a - 6 \neq 0$, то $x = \frac{(a - 3)(a + 3)}{2(a - 3)}$.
4. Если $a \neq 3$, то $x = \frac{a + 3}{2}$.
5. Если $a = 3$, то $0 \cdot x = 0$, и уравнение имеет бесконечно много решений.
6. Если $a = 3$, то уравнение имеет бесконечно много решений, а нам нужно единственное.
7. Рассмотрим случай $2a - 6 = 0$, то есть $a = 3$. Тогда уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что означает бесконечное количество решений.
8. Чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы $a \neq 3$. Тогда $x = \frac{a + 3}{2}$.
Ответ: $a \neq 3$