Дано: Найти производные функций, используя правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Задания №41-50.

Решение:

Для каждого задания определим функции $u$ и $v$, найдем их производные $u'$ и $v'$, а затем применим формулу производной частного.

41. $y = \frac{3x+8}{7x-4}$
1. Пусть $u = 3x+8$. Тогда $u' = 3$.
2. Пусть $v = 7x-4$. Тогда $v' = 7$.
3. Применим правило дифференцирования частного:
$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3(7x-4) - (3x+8)(7)}{(7x-4)^2}$$
4. Раскроем скобки в числителе:
$$y' = \frac{21x - 12 - (21x + 56)}{(7x-4)^2}$$
5. Упростим числитель:
$$y' = \frac{21x - 12 - 21x - 56}{(7x-4)^2} = \frac{-68}{(7x-4)^2}$$
Ответ: $y' = \frac{-68}{(7x-4)^2}$

42. $y = \frac{6-7x}{2x+5}$
1. Пусть $u = 6-7x$. Тогда $u' = -7$.
2. Пусть $v = 2x+5$. Тогда $v' = 2$.
3. Применим правило дифференцирования частного:
$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{-7(2x+5) - (6-7x)(2)}{(2x+5)^2}$$
4. Раскроем скобки в числителе:
$$y' = \frac{-14x - 35 - (12 - 14x)}{(2x+5)^2}$$
5. Упростим числитель:
$$y' = \frac{-14x - 35 - 12 + 14x}{(2x+5)^2} = \frac{-47}{(2x+5)^2}$$
Ответ: $y' = \frac{-47}{(2x+5)^2}$

43. $y = \frac{4x-1}{9x+4}$
1. Пусть $u = 4x-1$. Тогда $u' = 4$.
2. Пусть $v = 9x+4$. Тогда $v' = 9$.
3. Применим правило дифференцирования частного:
$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{4(9x+4) - (4x-1)(9)}{(9x+4)^2}$$
4. Раскроем скобки в числителе:
$$y' = \frac{36x + 16 - (36x - 9)}{(9x+4)^2}$$
5. Упростим числитель:
$$y' = \frac{36x + 16 - 36x + 9}{(9x+4)^2} = \frac{25}{(9x+4)^2}$$
Ответ: $y' = \frac{25}{(9x+4)^2}$

44. $y = \frac{8x-4}{2x-1}$
1. Заметим, что числитель $8x-4$ можно представить как $4(2x-1)$.
2. Таким образом, $y = \frac{4(2x-1)}{2x-1}$. При условии $2x-1 \neq 0$, функция упрощается до $y = 4$.
3. Производная константы равна нулю.
4. Проверим с помощью правила дифференцирования частного:
   Пусть $u = 8x-4$. Тогда $u' = 8$.
   Пусть $v = 2x-1$. Тогда $v' = 2$.
   $$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{8(2x-1) - (8x-4)(2)}{(2x-1)^2}$$
   $$y' = \frac{16x - 8 - (16x - 8)}{(2x-1)^2} = \frac{16x - 8 - 16x + 8}{(2x-1)^2} = \frac{0}{(2x-1)^2} = 0$$
Ответ: $y' = 0$

45. $y = \frac{x+4}{3x-5}$
1. Пусть $u = x+4$. Тогда $u' = 1$.
2. Пусть $v = 3x-5$. Тогда $v' = 3$.
3. Применим правило дифференцирования частного:
$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1(3x-5) - (x+4)(3)}{(3x-5)^2}$$
4. Раскроем скобки в числителе:
$$y' = \frac{3x - 5 - (3x + 12)}{(3x-5)^2}$$
5. Упростим числитель:
$$y' = \frac{3x - 5 - 3x - 12}{(3x-5)^2} = \frac{-17}{(3x-5)^2}$$
Ответ: $y' = \frac{-17}{(3x-5)^2}$

46. $y = \frac{8x+1}{6x-7}$
1. Пусть $u = 8x+1$. Тогда $u' = 8$.
2. Пусть $v = 6x-7$. Тогда $v' = 6$.
3. Применим правило дифференцирования частного:
$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{8(6x-7) - (8x+1)(6)}{(6x-7)^2}$$
4. Раскроем скобки в числителе:
$$y' = \frac{48x - 56 - (48x + 6)}{(6x-7)^2}$$
5. Упростим числитель:
$$y' = \frac{48x - 56 - 48x - 6}{(6x-7)^2} = \frac{-62}{(6x-7)^2}$$
Ответ: $y' = \frac{-62}{(6x-7)^2}$

47. $y = \frac{5x+4}{4-3x}$
1. Пусть $u = 5x+4$. Тогда $u' = 5$.
2. Пусть $v = 4-3x$. Тогда $v' = -3$.
3. Применим правило дифференцирования частного:
$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{5(4-3x) - (5x+4)(-3)}{(4-3x)^2}$$
4. Раскроем скобки в числителе:
$$y' = \frac{20 - 15x - (-15x - 12)}{(4-3x)^2}$$
5. Упростим числитель:
$$y' = \frac{20 - 15x + 15x + 12}{(4-3x)^2} = \frac{32}{(4-3x)^2}$$
Ответ: $y' = \frac{32}{(4-3x)^2}$

48. $y = \frac{4+3x}{1+2x}$
1. Пусть $u = 4+3x$. Тогда $u' = 3$.
2. Пусть $v = 1+2x$. Тогда $v' = 2$.
3. Применим правило дифференцирования частного:
$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3(1+2x) - (4+3x)(2)}{(1+2x)^2}$$
4. Раскроем скобки в числителе:
$$y' = \frac{3 + 6x - (8 + 6x)}{(1+2x)^2}$$
5. Упростим числитель:
$$y' = \frac{3 + 6x - 8 - 6x}{(1+2x)^2} = \frac{-5}{(1+2x)^2}$$
Ответ: $y' = \frac{-5}{(1+2x)^2}$

49. $y = \frac{9x-7}{8x+14}$
1. Пусть $u = 9x-7$. Тогда $u' = 9$.
2. Пусть $v = 8x+14$. Тогда $v' = 8$.
3. Применим правило дифференцирования частного:
$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{9(8x+14) - (9x-7)(8)}{(8x+14)^2}$$
4. Раскроем скобки в числителе:
$$y' = \frac{72x + 126 - (72x - 56)}{(8x+14)^2}$$
5. Упростим числитель:
$$y' = \frac{72x + 126 - 72x + 56}{(8x+14)^2} = \frac{182}{(8x+14)^2}$$
6. Можно упростить знаменатель, вынеся общий множитель 2: $(8x+14)^2 = (2(4x+7))^2 = 4(4x+7)^2$.
7. Тогда $y' = \frac{182}{4(4x+7)^2} = \frac{91}{2(4x+7)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{91}{2(4x+7)^2}$

50. $y = \frac{6-7x}{8x-2}$
1. Пусть $u = 6-7x$. Тогда $u' = -7$.
2. Пусть $v = 8x-2$. Тогда $v' = 8$.
3. Применим правило дифференцирования частного:
$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{-7(8x-2) - (6-7x)(8)}{(8x-2)^2}$$
4. Раскроем скобки в числителе:
$$y' = \frac{-56x + 14 - (48 - 56x)}{(8x-2)^2}$$
5. Упростим числитель:
$$y' = \frac{-56x + 14 - 48 + 56x}{(8x-2)^2} = \frac{-34}{(8x-2)^2}$$
6. Можно упростить знаменатель, вынеся общий множитель 2: $(8x-2)^2 = (2(4x-1))^2 = 4(4x-1)^2$.
7. Тогда $y' = \frac{-34}{4(4x-1)^2} = \frac{-17}{2(4x-1)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{-17}{2(4x-1)^2}$