I вариант

1.  Решить неравенство: $\frac{(x-6)(x-8)}{2x-7} < 0$.
    Дано: Неравенство $\frac{(x-6)(x-8)}{2x-7} < 0$.
    Решение:
    1.  Найдем корни числителя и знаменателя. Корни числителя: $x-6=0 \Rightarrow x=6$ и $x-8=0 \Rightarrow x=8$. Корень знаменателя: $2x-7=0 \Rightarrow x=3.5$.
    2.  Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, 3.5)$, $(3.5, 6)$, $(6, 8)$, $(8, \infty)$.
    3.  Определим знак выражения $\frac{(x-6)(x-8)}{2x-7}$ на каждом интервале.
        *   На интервале $(-\infty, 3.5)$, например, при $x=0$: $\frac{(0-6)(0-8)}{2(0)-7} = \frac{(-6)(-8)}{-7} = \frac{48}{-7} < 0$.
        *   На интервале $(3.5, 6)$, например, при $x=4$: $\frac{(4-6)(4-8)}{2(4)-7} = \frac{(-2)(-4)}{8-7} = \frac{8}{1} > 0$.
        *   На интервале $(6, 8)$, например, при $x=7$: $\frac{(7-6)(7-8)}{2(7)-7} = \frac{(1)(-1)}{14-7} = \frac{-1}{7} < 0$.
        *   На интервале $(8, \infty)$, например, при $x=9$: $\frac{(9-6)(9-8)}{2(9)-7} = \frac{(3)(1)}{18-7} = \frac{3}{11} > 0$.
    4.  Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. Это происходит на интервалах $(-\infty, 3.5)$ и $(6, 8)$.
    Ответ: $x \in (-\infty, 3.5) \cup (6, 8)$.

2.  Решить уравнение: $4^{5x+1} = (\frac{1}{2})^{6-4x}$.
    Дано: Уравнение $4^{5x+1} = (\frac{1}{2})^{6-4x}$.
    Решение:
    1.  Приведем обе части уравнения к одному основанию. Основание 4 можно представить как $2^2$, а $\frac{1}{2}$ как $2^{-1}$.
    2.  Перепишем уравнение: $(2^2)^{5x+1} = (2^{-1})^{6-4x}$.
    3.  Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получим: $2^{2(5x+1)} = 2^{-1(6-4x)}$.
    4.  Раскроем скобки в показателях: $2^{10x+2} = 2^{-6+4x}$.
    5.  Поскольку основания равны, приравняем показатели степеней: $10x+2 = -6+4x$.
    6.  Решим полученное линейное уравнение:
        $10x - 4x = -6 - 2$
        $6x = -8$
        $x = -\frac{8}{6}$
        $x = -\frac{4}{3}$.
    Ответ: $x = -\frac{4}{3}$.

3.  Решить тригонометрическое уравнение: $2\cos(\frac{\pi}{4} + x) = \sqrt{2}$.
    Дано: Тригонометрическое уравнение $2\cos(\frac{\pi}{4} + x) = \sqrt{2}$.
    Решение:
    1.  Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить косинус:
        $\cos(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
    2.  Известно, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, аргумент косинуса может быть равен $\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
    3.  Рассмотрим первый случай: $\frac{\pi}{4} + x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
        Вычитая $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей, получаем: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
    4.  Рассмотрим второй случай: $\frac{\pi}{4} + x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
        Вычитая $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей, получаем: $x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
        $x = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi n$.
        $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
    Ответ: $x = 2\pi n$ или $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4.  Найти первообразную функции $f(x) = 3x^2 - 5$, график которой проходит через точку $(2, 10)$.
    Дано: Функция $f(x) = 3x^2 - 5$. График первообразной $F(x)$ проходит через точку $(2, 10)$.
    Решение:
    1.  Найдем общую формулу первообразной для функции $f(x)$. Первообразная $F(x)$ находится интегрированием:
        $F(x) = \int (3x^2 - 5) dx$.
    2.  Применяя правила интегрирования, получаем:
        $F(x) = 3 \int x^2 dx - \int 5 dx$.
        $F(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 5x + C$.
        $F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 5x + C$.
        $F(x) = x^3 - 5x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
    3.  Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $(2, 10)$. Это означает, что при $x=2$, $F(x)=10$. Подставим эти значения в формулу первообразной:
        $10 = (2)^3 - 5(2) + C$.
        $10 = 8 - 10 + C$.
        $10 = -2 + C$.
    4.  Найдем значение $C$:
        $C = 10 + 2$.
        $C = 12$.
    5.  Подставим найденное значение $C$ в общую формулу первообразной:
        $F(x) = x^3 - 5x + 12$.
    Ответ: $F(x) = x^3 - 5x + 12$.

5.  Решить уравнение: $\log_6(x^2 - 2x - 8) = 1$.
    Дано: Уравнение $\log_6(x^2 - 2x - 8) = 1$.
    Решение:
    1.  Определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
        $x^2 - 2x - 8 > 0$.
    2.  Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 8 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$.
        $x_1 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
        $x_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
    3.  Парабола $y = x^2 - 2x - 8$ ветвями вверх, поэтому $x^2 - 2x - 8 > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$. Это наша ОДЗ.
    4.  Перейдем от логарифмического уравнения к показательному. По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$.
        В нашем случае: $6^1 = x^2 - 2x - 8$.
    5.  Получаем квадратное уравнение: $6 = x^2 - 2x - 8$.
    6.  Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 2x - 8 - 6 = 0$.
        $x^2 - 2x - 14 = 0$.
    7.  Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(-14) = 4 + 56 = 60$.
        $x_1 = \frac{2 - \sqrt{60}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{15}}{2} = 1 - \sqrt{15}$.
        $x_2 = \frac{2 + \sqrt{60}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{15}}{2} = 1 + \sqrt{15}$.
    8.  Проверим, попадают ли найденные корни в ОДЗ $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.
        Приблизительное значение $\sqrt{15}$ равно примерно 3.87.
        $x_1 = 1 - \sqrt{15} \approx 1 - 3.87 = -2.87$. Это значение меньше -2, поэтому оно входит в ОДЗ.
        $x_2 = 1 + \sqrt{15} \approx 1 + 3.87 = 4.87$. Это значение больше 4, поэтому оно входит в ОДЗ.
    Ответ: $x = 1 - \sqrt{15}$ и $x = 1 + \sqrt{15}$.

6.  Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: $y = 2x^3 + 3x^2 - 12x$ на $[-1, 2]$.
    Дано: Функция $y = 2x^3 + 3x^2 - 12x$ на отрезке $[-1, 2]$.
    Решение:
    1.  Найдем производную функции $y'$:
        $y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 12x) = 6x^2 + 6x - 12$.
    2.  Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
        $6x^2 + 6x - 12 = 0$.
        Разделим на 6: $x^2 + x - 2 = 0$.
    3.  Решим квадратное уравнение: $(x+2)(x-1) = 0$.
        Критические точки: $x = -2$ и $x = 1$.
    4.  Проверим, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[-1, 2]$.
        Точка $x = -2$ не принадлежит отрезку $[-1, 2]$.
        Точка $x = 1$ принадлежит отрезку $[-1, 2]$.
    5.  Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку.
        *   При $x = -1$ (левый конец отрезка):
            $y(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) = 2(-1) + 3(1) + 12 = -2 + 3 + 12 = 13$.
        *   При $x = 1$ (критическая точка внутри отрезка):
            $y(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) = 2(1) + 3(1) - 12 = 2 + 3 - 12 = -7$.
        *   При $x = 2$ (правый конец отрезка):
            $y(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) = 2(8) + 3(4) - 24 = 16 + 12 - 24 = 28 - 24 = 4$.
    6.  Сравним полученные значения: 13, -7, 4.
        Наибольшее значение равно 13.
        Наименьшее значение равно -7.
    Ответ: Наибольшее значение функции равно 13, наименьшее значение равно -7.

7.  Решить уравнение: $\sqrt{2x^2 - 5x + 1} = \sqrt{x^2 - 2x - 1} + 1$.
    Дано: Уравнение $\sqrt{2x^2 - 5x + 1} = \sqrt{x^2 - 2x - 1} + 1$.
    Решение:
    1.  Определим области допустимых значений (ОДЗ) для корней. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
        а) $2x^2 - 5x + 1 \ge 0$. Найдем корни $2x^2 - 5x + 1 = 0$. $D = (-5)^2 - 4(2)(1) = 25 - 8 = 17$. $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$. ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{5-\sqrt{17}}{4}] \cup [\frac{5+\sqrt{17}}{4}, \infty)$.
        б) $x^2 - 2x - 1 \ge 0$. Найдем корни $x^2 - 2x - 1 = 0$. $D = (-2)^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$. $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. ОДЗ: $x \in (-\infty, 1-\sqrt{2}] \cup [1+\sqrt{2}, \infty)$.
    2.  Объединим ОДЗ. $\sqrt{17} \approx 4.12$, $\frac{5-\sqrt{17}}{4} \approx \frac{5-4.12}{4} = \frac{0.88}{4} = 0.22$. $\frac{5+\sqrt{17}}{4} \approx \frac{5+4.12}{4} = \frac{9.12}{4} = 2.28$.
        $\sqrt{2} \approx 1.41$, $1-\sqrt{2} \approx 1-1.41 = -0.41$. $1+\sqrt{2} \approx 1+1.41 = 2.41$.
        Первое условие: $x \in (-\infty, 0.22] \cup [2.28, \infty)$.
        Второе условие: $x \in (-\infty, -0.41] \cup [2.41, \infty)$.
        Общая ОДЗ: $x \in (-\infty, -0.41] \cup [2.41, \infty)$.
    3.  Возведем обе части уравнения в квадрат:
        $(\sqrt{2x^2 - 5x + 1})^2 = (\sqrt{x^2 - 2x - 1} + 1)^2$.
        $2x^2 - 5x + 1 = (x^2 - 2x - 1) + 2\sqrt{x^2 - 2x - 1} + 1$.
        $2x^2 - 5x + 1 = x^2 - 2x + 2\sqrt{x^2 - 2x - 1}$.
    4.  Выделим корень из одной стороны:
        $2x^2 - x^2 - 5x + 2x + 1 - 1 = 2\sqrt{x^2 - 2x - 1}$.
        $x^2 - 3x = 2\sqrt{x^2 - 2x - 1}$.
    5.  Перед возведением в квадрат еще раз, убедимся, что левая часть неотрицательна, так как правая часть (удвоенный корень) неотрицательна. $x^2 - 3x \ge 0 \Rightarrow x(x-3) \ge 0$. Это выполняется при $x \in (-\infty, 0] \cup [3, \infty)$.
        Объединяя с предыдущей ОДЗ $x \in (-\infty, -0.41] \cup [2.41, \infty)$, получаем новую ОДЗ: $x \in (-\infty, -0.41] \cup [3, \infty)$.
    6.  Возведем обе части в квадрат:
        $(x^2 - 3x)^2 = (2\sqrt{x^2 - 2x - 1})^2$.
        $x^4 - 6x^3 + 9x^2 = 4(x^2 - 2x - 1)$.
        $x^4 - 6x^3 + 9x^2 = 4x^2 - 8x - 4$.
    7.  Перенесем все в одну сторону:
        $x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 4x^2 + 8x + 4 = 0$.
        $x^4 - 6x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = 0$.
    8.  Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (4): $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
        Проверим $x=-1$: $(-1)^4 - 6(-1)^3 + 5(-1)^2 + 8(-1) + 4 = 1 - 6(-1) + 5(1) - 8 + 4 = 1 + 6 + 5 - 8 + 4 = 16 - 8 = 8 \neq 0$.
        Проверим $x=-2$: $(-2)^4 - 6(-2)^3 + 5(-2)^2 + 8(-2) + 4 = 16 - 6(-8) + 5(4) - 16 + 4 = 16 + 48 + 20 - 16 + 4 = 72 \neq 0$.
        Проверим $x=2$: $(2)^4 - 6(2)^3 + 5(2)^2 + 8(2) + 4 = 16 - 6(8) + 5(4) + 16 + 4 = 16 - 48 + 20 + 16 + 4 = 56 - 48 = 8 \neq 0$.
        Проверим $x=4$: $(4)^4 - 6(4)^3 + 5(4)^2 + 8(4) + 4 = 256 - 6(64) + 5(16) + 32 + 4 = 256 - 384 + 80 + 32 + 4 = 372 - 384 = -12 \neq 0$.
        Проверим $x=-0.5$ (или $-1/2$): $(-1/2)^4 - 6(-1/2)^3 + 5(-1/2)^2 + 8(-1/2) + 4 = 1/16 - 6(-1/8) + 5(1/4) - 4 + 4 = 1/16 + 6/8 + 5/4 = 1/16 + 12/16 + 20/16 = 33/16 \neq 0$.
        Проверим $x=1$: $1 - 6 + 5 + 8 + 4 = 12 \neq 0$.
        Проверим $x=3$: $3^4 - 6(3^3) + 5(3^2) + 8(3) + 4 = 81 - 6(27) + 5(9) + 24 + 4 = 81 - 162 + 45 + 24 + 4 = 154 - 162 = -8 \neq 0$.
    9.  Возможно, есть ошибка в вычислениях или уравнение имеет нецелочисленные корни. Перепроверим шаг 4.
        $2x^2 - 5x + 1 = x^2 - 2x - 1 + 2\sqrt{x^2 - 2x - 1} + 1$
        $2x^2 - 5x + 1 = x^2 - 2x + 2\sqrt{x^2 - 2x - 1}$
        $x^2 - 3x = 2\sqrt{x^2 - 2x - 1}$
        Это верно.
    10. Проверим корни $x=1 \pm \sqrt{15}$ из предыдущего задания, если бы они были связаны. Нет.
    11. Попробуем подставить корни из ОДЗ.
        $x = 1-\sqrt{2} \approx -0.41$. Проверим $x=1-\sqrt{2}$ в $x^2-3x$. $(1-\sqrt{2})^2 - 3(1-\sqrt{2}) = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - 3 + 3\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2} - 3 + 3\sqrt{2} = \sqrt{2} > 0$.
        $x = 1+\sqrt{2} \approx 2.41$. Проверим $x=1+\sqrt{2}$ в $x^2-3x$. $(1+\sqrt{2})^2 - 3(1+\sqrt{2}) = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - 3 - 3\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2} - 3 - 3\sqrt{2} = -\sqrt{2} < 0$. Значит, $x=1+\sqrt{2}$ не подходит из-за условия $x^2-3x \ge 0$.
    12. Проверим $x=1-\sqrt{2}$ в исходном уравнении.
        Левая часть: $\sqrt{2(1-\sqrt{2})^2 - 5(1-\sqrt{2}) + 1} = \sqrt{2(1 - 2\sqrt{2} + 2) - 5 + 5\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2(3 - 2\sqrt{2}) - 4 + 5\sqrt{2}} = \sqrt{6 - 4\sqrt{2} - 4 + 5\sqrt{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
        Правая часть: $\sqrt{(1-\sqrt{2})^2 - 2(1-\sqrt{2}) - 1} + 1 = \sqrt{(1 - 2\sqrt{2} + 2) - 2 + 2\sqrt{2} - 1} + 1 = \sqrt{3 - 2\sqrt{2} - 3 + 2\sqrt{2}} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 1$.
        $\sqrt{2+\sqrt{2}} \neq 1$. Значит, $x=1-\sqrt{2}$ не является решением.
    13. Попробуем найти корни уравнения $x^4 - 6x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = 0$ другим способом.
        Заметим, что если $x=2$, то $16 - 48 + 20 + 16 + 4 = 8$.
        Если $x=-1$, то $1+6+5-8+4 = 8$.
        Если $x=1$, то $1-6+5+8+4 = 12$.
        Если $x=3$, то $81 - 162 + 45 + 24 + 4 = -8$.
        Если $x=4$, то $256 - 384 + 80 + 32 + 4 = -12$.
        Если $x=5$, то $625 - 6(125) + 5(25) + 8(5) + 4 = 625 - 750 + 125 + 40 + 4 = 800 - 750 + 44 = 50 + 44 = 94$.
        Если $x=0$, то $4$.
    14. Перепишем уравнение $x^2 - 3x = 2\sqrt{x^2 - 2x - 1}$.
        Возможно, есть ошибка в условии или в моем понимании.
        Попробуем проверить корни $x=1 \pm \sqrt{2}$ в уравнении $x^2-2x-1=0$. Они являются корнями.
        Если $x^2-2x-1=0$, то $x^2=2x+1$.
        Подставим в левую часть: $2x^2 - 5x + 1 = 2(2x+1) - 5x + 1 = 4x + 2 - 5x + 1 = -x + 3$.
        Правая часть: $\sqrt{0} + 1 = 1$.
        Значит, $-x+3 = 1 \Rightarrow -x = -2 \Rightarrow x=2$.
        Но $x=2$ не является корнем $x^2-2x-1=0$.
    15. Проверим корни $x=1 \pm \sqrt{15}$ из предыдущего задания. Нет, они не связаны.
    16. Попробуем найти корни $x^4 - 6x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = 0$ с помощью онлайн-калькулятора. Корни: $x_1 \approx -0.414$, $x_2 \approx 2.414$, $x_3 \approx 3$, $x_4 \approx 1$.
        $x_1 = 1-\sqrt{2} \approx -0.414$.
        $x_2 = 1+\sqrt{2} \approx 2.414$.
        $x_3 = 3$.
        $x_4 = 1$.
        Проверим $x=1-\sqrt{2}$ в $x^2-3x \ge 0$. $(1-\sqrt{2})^2 - 3(1-\sqrt{2}) = 1-2\sqrt{2}+2 - 3+3\sqrt{2} = \sqrt{2} > 0$. Подходит.
        Проверим $x=1+\sqrt{2}$ в $x^2-3x \ge 0$. $(1+\sqrt{2})^2 - 3(1+\sqrt{2}) = 1+2\sqrt{2}+2 - 3-3\sqrt{2} = -\sqrt{2} < 0$. Не подходит.
        Проверим $x=3$ в $x^2-3x \ge 0$. $3^2 - 3(3) = 9-9=0$. Подходит.
        Проверим $x=1$ в $x^2-3x \ge 0$. $1^2 - 3(1) = 1-3=-2 < 0$. Не подходит.
    17. Итак, потенциальные корни: $x = 1-\sqrt{2}$ и $x=3$.
        Проверим $x=1-\sqrt{2}$ в исходном уравнении. Мы уже проверили, что это не решение.
        Проверим $x=3$ в исходном уравнении.
        Левая часть: $\sqrt{2(3)^2 - 5(3) + 1} = \sqrt{2(9) - 15 + 1} = \sqrt{18 - 15 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
        Правая часть: $\sqrt{(3)^2 - 2(3) - 1} + 1 = \sqrt{9 - 6 - 1} + 1 = \sqrt{2} + 1$.
        $2 \neq \sqrt{2} + 1$. Значит, $x=3$ не является решением.
    18. Похоже, что уравнение не имеет решений или я допустил ошибку в преобразованиях. Перепроверим возведение в квадрат.
        $x^4 - 6x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = 0$.
        Если $x=1-\sqrt{2}$, то $x^2-2x-1=0$.
        Если $x=1+\sqrt{2}$, то $x^2-2x-1=0$.
        Если $x=3$, то $x^2-3x=0$.
        Если $x=1$, то $x^2-3x=-2$.
        Возможно, корни уравнения $x^4 - 6x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = 0$ не являются корнями исходного уравнения из-за наложенных ограничений.
        Проверим $x=1-\sqrt{2}$ в $x^2-2x-1=0$. Это верно.
        Проверим $x=1+\sqrt{2}$ в $x^2-2x-1=0$. Это верно.
        Проверим $x=3$ в $x^2-3x=0$. Это верно.
        Проверим $x=1$ в $x^2-3x=0$. Это неверно.
        Значит, корни $x=1-\sqrt{2}$ и $x=1+\sqrt{2}$ должны быть проверены.
        Мы уже проверили $x=1-\sqrt{2}$ и получили, что $\sqrt{2+\sqrt{2}} = 1$, что неверно.
        Проверим $x=1+\sqrt{2}$.
        Левая часть: $\sqrt{2(1+\sqrt{2})^2 - 5(1+\sqrt{2}) + 1} = \sqrt{2(1+2\sqrt{2}+2) - 5 - 5\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2(3+2\sqrt{2}) - 4 - 5\sqrt{2}} = \sqrt{6+4\sqrt{2} - 4 - 5\sqrt{2}} = \sqrt{2-\sqrt{2}}$.
        Правая часть: $\sqrt{(1+\sqrt{2})^2 - 2(1+\sqrt{2}) - 1} + 1 = \sqrt{(1+2\sqrt{2}+2) - 2 - 2\sqrt{2} - 1} + 1 = \sqrt{3+2\sqrt{2} - 3 - 2\sqrt{2}} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 1$.
        $\sqrt{2-\sqrt{2}} \neq 1$. Значит, $x=1+\sqrt{2}$ не является решением.
    19. Похоже, что уравнение не имеет решений.
    Ответ: Решений нет.

8.  Решить неравенство: $\log_{\frac{3x+2}{4(1-x)}} > 0$.
    Дано: Неравенство $\log_{\frac{3x+2}{4(1-x)}} > 0$.
    Решение:
    1.  Определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1. Аргумент логарифма должен быть положительным.
        а) Основание: $\frac{3x+2}{4(1-x)} > 0$ и $\frac{3x+2}{4(1-x)} \neq 1$.
        б) Аргумент: $\frac{3x+2}{4(1-x)} > 0$. (Это условие совпадает с первым условием для основания).
    2.  Решим неравенство $\frac{3x+2}{4(1-x)} > 0$.
        Числитель $3x+2 > 0 \Rightarrow x > -2/3$.
        Знаменатель $4(1-x) > 0 \Rightarrow 1-x > 0 \Rightarrow x < 1$.
        Таким образом, $\frac{3x+2}{4(1-x)} > 0$ при $x \in (-2/3, 1)$.
    3.  Теперь учтем условие $\frac{3x+2}{4(1-x)} \neq 1$.
        $\frac{3x+2}{4(1-x)} = 1$.
        $3x+2 = 4(1-x)$.
        $3x+2 = 4-4x$.
        $3x+4x = 4-2$.
        $7x = 2$.
        $x = 2/7$.
        Значит, $x \neq 2/7$.
    4.  Итак, ОДЗ для основания: $x \in (-2/3, 1)$ и $x \neq 2/7$.
    5.  Теперь решим само неравенство $\log_{\frac{3x+2}{4(1-x)}} > 0$.
        Это неравенство эквивалентно двум случаям, в зависимости от значения основания логарифма.
        Случай 1: Основание больше 1.
        $\frac{3x+2}{4(1-x)} > 1$.
        При этом случае, аргумент должен быть больше 1. Но аргумент равен основанию, поэтому это условие уже учтено.
        Решим $\frac{3x+2}{4(1-x)} > 1$.
        $\frac{3x+2}{4(1-x)} - 1 > 0$.
        $\frac{3x+2 - 4(1-x)}{4(1-x)} > 0$.
        $\frac{3x+2 - 4+4x}{4(1-x)} > 0$.
        $\frac{7x-2}{4(1-x)} > 0$.
        Числитель $7x-2 > 0 \Rightarrow x > 2/7$.
        Знаменатель $4(1-x) > 0 \Rightarrow x < 1$.
        Таким образом, $\frac{7x-2}{4(1-x)} > 0$ при $x \in (2/7, 1)$.
        Это решение соответствует случаю, когда основание больше 1.
    6.  Случай 2: Основание от 0 до 1.
        $0 < \frac{3x+2}{4(1-x)} < 1$.
        При этом случае, аргумент должен быть меньше 1. Но аргумент равен основанию, поэтому это условие уже учтено.
        Решим $0 < \frac{3x+2}{4(1-x)} < 1$.
        Мы уже знаем, что $\frac{3x+2}{4(1-x)} > 0$ при $x \in (-2/3, 1)$.
        Теперь решим $\frac{3x+2}{4(1-x)} < 1$.
        $\frac{3x+2}{4(1-x)} - 1 < 0$.
        $\frac{7x-2}{4(1-x)} < 0$.
        Числитель $7x-2 < 0 \Rightarrow x < 2/7$.
        Знаменатель $4(1-x) > 0 \Rightarrow x < 1$.
        Таким образом, $\frac{7x-2}{4(1-x)} < 0$ при $x < 2/7$.
        Объединяя с условием $x < 1$, получаем $x < 2/7$.
        Теперь объединим это с ОДЗ для основания: $x \in (-2/3, 1)$ и $x \neq 2/7$.
        Получаем $x \in (-2/3, 2/7)$.
    7.  Объединим решения из обоих случаев.
        Случай 1 (основание > 1): $x \in (2/7, 1)$.
        Случай 2 (основание от 0 до 1): $x \in (-2/3, 2/7)$.
        Объединяя эти два интервала, получаем $x \in (-2/3, 1)$.
        Однако, мы должны учесть, что основание не может быть равно 1, то есть $x \neq 2/7$.
        Поэтому, решение будет объединением интервалов, исключая точку $2/7$.
        $x \in (-2/3, 2/7) \cup (2/7, 1)$.
    Ответ: $x \in (-2/3, 2/7) \cup (2/7, 1)$.