Дано: Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, $K$ - точка пересечения его диагоналей. $\angle ACD = 50^\circ$, $\angle CAB = 35^\circ$.
Решение:
1. Угол $AKD$ является внешним углом треугольника $AKC$. Следовательно, $\angle AKD = \angle KAC + \angle ACK$.
2. $\angle KAC = \angle CAB = 35^\circ$.
3. $\angle ACK = \angle ACD = 50^\circ$.
4. $\angle AKD = 35^\circ + 50^\circ = 85^\circ$.
Ответ: $\angle AKD = 85^\circ$.