Дано:
Прямоугольный параллелепипед.
Стороны основания: $a = 4$ см, $b = 5$ см.
Диагональ большей боковой грани: $d_{бок} = 13$ см.

Найти:
Объем ($V$) и полную площадь поверхности ($S_{полн}$) параллелепипеда.

Решение:
1. Определим размеры параллелепипеда. Пусть стороны основания равны $a=4$ см и $b=5$ см. Пусть высота параллелепипеда равна $h$.
Боковые грани прямоугольного параллелепипеда представляют собой прямоугольники. Их размеры будут $a \times h$ и $b \times h$.
Площадь одной боковой грани равна $4h$, площадь другой боковой грани равна $5h$.
Так как $5 > 4$, большая боковая грань имеет размеры $5 \times h$.

2. Найдем высоту параллелепипеда, используя диагональ большей боковой грани. Диагональ прямоугольника связана с его сторонами теоремой Пифагора. Для большей боковой грани имеем:
$d_{бок}^2 = b^2 + h^2$
Подставим известные значения:
$13^2 = 5^2 + h^2$
$169 = 25 + h^2$
$h^2 = 169 - 25$
$h^2 = 144$
$h = \sqrt{144}$
$h = 12$ см.

3. Теперь известны все три измерения параллелепипеда: длина основания $b=5$ см, ширина основания $a=4$ см и высота $h=12$ см.

4. Вычислим объем параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений:
$V = a \times b \times h$
$V = 4 \text{ см} \times 5 \text{ см} \times 12 \text{ см}$
$V = 20 \text{ см}^2 \times 12 \text{ см}$
$V = 240 \text{ см}^3$.

5. Вычислим полную площадь поверхности параллелепипеда. Полная площадь поверхности состоит из площадей шести граней. Грани параллелепипеда представлены тремя парами равных прямоугольников:
- Две грани основания: $a \times b$
- Две боковые грани: $a \times h$
- Две боковые грани: $b \times h$

Площадь основания: $S_{осн} = a \times b = 4 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$.
Площадь двух оснований: $2 \times S_{осн} = 2 \times 20 \text{ см}^2 = 40 \text{ см}^2$.

Площадь одной боковой грани с размерами $a \times h$: $S_{бок1} = 4 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$.
Площадь двух таких граней: $2 \times S_{бок1} = 2 \times 48 \text{ см}^2 = 96 \text{ см}^2$.

Площадь другой боковой грани с размерами $b \times h$: $S_{бок2} = 5 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 60 \text{ см}^2$.
Площадь двух таких граней: $2 \times S_{бок2} = 2 \times 60 \text{ см}^2 = 120 \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности равна сумме площадей всех граней:
$S_{полн} = 2 \times S_{осн} + 2 \times S_{бок1} + 2 \times S_{бок2}$
$S_{полн} = 40 \text{ см}^2 + 96 \text{ см}^2 + 120 \text{ см}^2$
$S_{полн} = 256 \text{ см}^2$.

Ответ:
Объем параллелепипеда равен $240$ см$^3$.
Полная площадь поверхности параллелепипеда равна $256$ см$^2$.