Дано: Точки $M$, $N$, $C$ лежат на окружности и делят её на дуги $MN$, $NC$ и $MC$, градусные меры которых относятся как $4:5:6$.

Решение:
1. Пусть градусные меры дуг $MN$, $NC$ и $MC$ равны $4x$, $5x$ и $6x$ соответственно.
2. Сумма градусных мер этих дуг равна $360^\circ$, так как они составляют полную окружность.
3. Составим уравнение: $4x + 5x + 6x = 360$.
4. Решим уравнение: $15x = 360$, следовательно, $x = \frac{360}{15} = 24$.
5. Найдем градусные меры дуг:
    *  $MN = 4x = 4 \cdot 24 = 96^\circ$.
    *  $NC = 5x = 5 \cdot 24 = 120^\circ$.
    *  $MC = 6x = 6 \cdot 24 = 144^\circ$.
6. Угол $MNC$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $MC$. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
7. $\angle MNC = \frac{1}{2} \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot 144 = 72^\circ$.
8. Угол $NCM$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $MN$. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
9. $\angle NCM = \frac{1}{2} \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot 96 = 48^\circ$.
10. Угол $CMN$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $NC$. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
11. $\angle CMN = \frac{1}{2} \cdot NC = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60^\circ$.
12. Наименьший угол треугольника $MNC$ - это угол $NCM$, равный $48^\circ$.

Ответ: $48^\circ$

Дано: Острый угол, образованный секущими, проведёнными вне окружности, равен $54^\circ$. Меньшая дуга, заключённая между секущими, равна $73^\circ$.

Решение:
1. Пусть $x$ - градусная мера большей дуги, заключённой между секущими.
2. Угол между секущими, проведёнными вне окружности, равен полуразности градусных мер дуг, заключённых между секущими.
3. Составим уравнение: $\frac{x - 73}{2} = 54$.
4. Решим уравнение: $x - 73 = 2 \cdot 54 = 108$.
5. $x = 108 + 73 = 181$.

Ответ: $181^\circ$