Дано: Распределение лампочек по времени горения:

| Время горения, час. | Число ламп, шт. |
|---|---|
| до 2500 | 1 |
| 2500-3000 | 2 |
| 3000-3500 | 8 |
| 3500-4000 | 42 |
| 4000-4500 | 30 |
| 4500-5000 | 12 |
| 5000-5500 | 5 |
| Итого | 100 |

Необходимо вычислить:
а) среднее время горения электроламп,
б) модальное и медианное значение,
в) дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Решение:

а) Среднее время горения:

1.  Найдем середину каждого интервала:
    *   до 2500: 2500/2 = 1250
    *   2500-3000: (2500+3000)/2 = 2750
    *   3000-3500: (3000+3500)/2 = 3250
    *   3500-4000: (3500+4000)/2 = 3750
    *   4000-4500: (4000+4500)/2 = 4250
    *   4500-5000: (4500+5000)/2 = 4750
    *   5000-5500: (5000+5500)/2 = 5250

2.  Вычислим сумму произведений середины интервала на число ламп в этом интервале:
    $1250 \cdot 1 + 2750 \cdot 2 + 3250 \cdot 8 + 3750 \cdot 42 + 4250 \cdot 30 + 4750 \cdot 12 + 5250 \cdot 5 = 1250 + 5500 + 26000 + 157500 + 127500 + 57000 + 26250 = 401000$

3.  Разделим полученную сумму на общее число ламп (100):
    $401000 / 100 = 4010$

б) Модальное и медианное значение:

1.  Модальный интервал - это интервал с наибольшей частотой. В данном случае, это интервал 3500-4000 (42 лампы). Модальное значение можно приближенно принять за середину этого интервала: 3750.

2.  Для нахождения медианы, нужно определить интервал, в котором находится медиана. Общее число ламп 100, значит медиана находится между 50-й и 51-й лампой.
    *   Сумма частот первых трех интервалов: 1 + 2 + 8 = 11
    *   Сумма частот первых четырех интервалов: 1 + 2 + 8 + 42 = 53
    Следовательно, медианный интервал - 3500-4000.

3.  Медиану можно вычислить по формуле:
    $Me = X_{lower} + h \cdot \frac{(N/2 - S_{before})}{f_{median}}$, где:
    *   $X_{lower}$ - нижняя граница медианного интервала (3500)
    *   $h$ - ширина интервала (500)
    *   $N$ - общее число ламп (100)
    *   $S_{before}$ - накопленная частота до медианного интервала (1+2+8 = 11)
    *   $f_{median}$ - частота медианного интервала (42)

    $Me = 3500 + 500 \cdot \frac{(100/2 - 11)}{42} = 3500 + 500 \cdot \frac{39}{42} = 3500 + 500 \cdot 0.9286 \approx 3500 + 464.3 = 3964.3$

в) Дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации:

1.  Дисперсия ($D$):
    $D = \frac{\sum{f_i(x_i - \bar{x})^2}}{N}$, где:
    *   $f_i$ - частота i-го интервала
    *   $x_i$ - середина i-го интервала
    *   $\bar{x}$ - среднее значение (4010)
    *   $N$ - общее число ламп (100)

    $D = \frac{1(1250-4010)^2 + 2(2750-4010)^2 + 8(3250-4010)^2 + 42(3750-4010)^2 + 30(4250-4010)^2 + 12(4750-4010)^2 + 5(5250-4010)^2}{100}$
    $D = \frac{1(7617600) + 2(1587600) + 8(577600) + 42(67600) + 30(57600) + 12(547600) + 5(1537600)}{100}$
    $D = \frac{7617600 + 3175200 + 4620800 + 2839200 + 1728000 + 6571200 + 7688000}{100} = \frac{34239000}{100} = 342390$

2.  Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$):
    $\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{342390} \approx 585.14$

3.  Коэффициент вариации ($V$):
    $V = \frac{\sigma}{\bar{x}} \cdot 100\% = \frac{585.14}{4010} \cdot 100\% \approx 0.1459 \cdot 100\% = 14.59\%$

Ответ:
а) Среднее время горения: 4010 часов.
б) Модальное значение: 3750 часов, медианное значение: 3964.3 часа.
в) Дисперсия: 342390, среднее квадратическое отклонение: 585.14 часа, коэффициент вариации: 14.59%.