11.
Дано: Конус, плоскость проведена через вершину под углом $45^\circ$ к плоскости основания, отсекает $\frac{1}{4}$ окружности основания. Высота конуса $h = 2\sqrt{2}$. Найти площадь сечения, деленную на $\sqrt{2}$.

Решение:
1. Пусть $S$ - вершина конуса, $O$ - центр основания, $AB$ - хорда, отсекающая $\frac{1}{4}$ окружности основания. Тогда $\angle AOB = \frac{1}{4} \cdot 360^\circ = 90^\circ$.
2. $\triangle AOB$ - прямоугольный и равнобедренный, следовательно, $AB = R\sqrt{2}$, где $R$ - радиус основания конуса.
3. Рассмотрим $\triangle SOH$, где $H$ - середина $AB$. $SH$ - высота сечения. $\angle SHO = 45^\circ$, значит, $\triangle SHO$ - прямоугольный и равнобедренный, $OH = SO = h = 2\sqrt{2}$.
4. $OH$ - расстояние от центра основания до хорды $AB$. В прямоугольном $\triangle AOH$: $AH^2 + OH^2 = OA^2$, $AH = \frac{AB}{2} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$.
5. $(\frac{R\sqrt{2}}{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = R^2$, $\frac{2R^2}{4} + 8 = R^2$, $\frac{1}{2}R^2 + 8 = R^2$, $\frac{1}{2}R^2 = 8$, $R^2 = 16$, $R = 4$.
6. $AB = R\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
7. $SH = SO \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4$.
8. Площадь сечения $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4 = 8\sqrt{2}$.
9. Площадь сечения, деленная на $\sqrt{2}$: $\frac{S_{сеч}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8$.

Ответ: 8.

12.
Дано: Конус, плоскость параллельна основанию, делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Площадь основания конуса $S_{осн} = 160$. Найти площадь сечения.

Решение:
1. Пусть $h$ - высота конуса. Плоскость делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины, значит, высота малого конуса $h_1 = \frac{1}{4}h$.
2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
3. $\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = (\frac{h_1}{h})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.
4. $S_{сеч} = \frac{1}{16} S_{осн} = \frac{1}{16} \cdot 160 = 10$.

Ответ: 10.

13.
Дано: Осевое сечение конуса - прямоугольный треугольник с площадью 25. Сечение конуса проходит через две образующие, угол между которыми равен $30^\circ$. Найти площадь сечения.

Решение:
1. Осевое сечение - прямоугольный треугольник, значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник. Его площадь $S_{ос} = \frac{1}{2} (2R)^2 = 2R^2 = 25$, где $R$ - радиус основания. Тогда $R^2 = \frac{25}{2}$.
2. Площадь сечения, проходящего через две образующие: $S_{сеч} = \frac{1}{2} l^2 \sin{\alpha}$, где $l$ - образующая, $\alpha$ - угол между образующими. В нашем случае $\alpha = 30^\circ$.
3. В осевом сечении образующая $l = 2R$, тогда $l^2 = (2R)^2 = 4R^2 = 4 \cdot \frac{25}{2} = 50$.
4. $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot \frac{1}{2} = \frac{50}{4} = 12.5$.

Ответ: 12.5.

14.
Дано: Высота конуса $h = 3$, радиус основания $R = 6$. Сечение конуса проходит через две образующие и отсекает от окружности основания дугу в $60^\circ$. Найти площадь этого сечения.

Решение:
1. Площадь сечения конуса, проходящего через две образующие: $S = \frac{1}{2} l^2 \sin{\alpha}$, где $l$ - образующая, $\alpha$ - угол между образующими.
2. Угол между образующими равен углу между радиусами, опирающимися на дугу $60^\circ$, то есть $\alpha = 60^\circ$.
3. Найдем образующую $l$. $l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
4. $S = \frac{1}{2} (3\sqrt{5})^2 \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{45\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{45\sqrt{3}}{4}$.

15.
Дано: Угол между высотой и образующей равен $30^\circ$. Найти центральный угол в развертке боковой поверхности конуса.

Решение:
1. Пусть $\alpha$ - угол между высотой и образующей, $\alpha = 30^\circ$. Тогда радиус основания $R = l \sin{\alpha}$, где $l$ - образующая.
2. Длина окружности основания $C = 2\pi R = 2\pi l \sin{\alpha}$.
3. Длина дуги развертки боковой поверхности конуса равна длине окружности основания.
4. Длина дуги развертки $L = l \theta$, где $\theta$ - центральный угол в радианах.
5. $l \theta = 2\pi l \sin{\alpha}$, $\theta = 2\pi \sin{\alpha} = 2\pi \sin{30^\circ} = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$.
6. Переведем в градусы: $\theta = \pi = 180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

16.
Дано: Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен $120^\circ$. Найти синус угла между высотой и образующей конуса, умноженный на 6.

Решение:
1. Пусть $\theta$ - центральный угол в развертке, $\theta = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$.
2. $\theta = 2\pi \sin{\alpha}$, где $\alpha$ - угол между высотой и образующей.
3. $\frac{2\pi}{3} = 2\pi \sin{\alpha}$, $\sin{\alpha} = \frac{1}{3}$.
4. Найти $6 \sin{\alpha} = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$.

Ответ: 2.

17.
Дано: Радиус основания конуса с вершиной $P$ равен $\frac{4\sqrt{3}}{3}$, длина образующей равна 10. На окружности основания выбраны точки $A$ и $B$, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2. Найти площадь сечения конуса плоскостью $ABP$.

Решение:
1. Пусть $R$ - радиус основания, $R = \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Пусть $l$ - образующая, $l = 10$.
2. Длины дуг относятся как 1:2, значит, углы, опирающиеся на эти дуги, относятся также как 1:2. Пусть $\angle AOB = x$, тогда $\angle AOB + \angle остальная дуга = 360^\circ$, $x + 2x = 360^\circ$, $3x = 360^\circ$, $x = 120^\circ$. Значит, $\angle AOB = 120^\circ$.
3. $\triangle AOB$: $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 OA \cdot OB \cos{\angle AOB} = R^2 + R^2 - 2 R^2 \cos{120^\circ} = 2R^2 - 2R^2 (-\frac{1}{2}) = 2R^2 + R^2 = 3R^2$.
4. $AB = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4$.
5. Найдем высоту $h$ конуса: $h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - (\frac{4\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{100 - \frac{16 \cdot 3}{9}} = \sqrt{100 - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{300 - 16}{3}} = \sqrt{\frac{284}{3}} = 2\sqrt{\frac{71}{3}}$.
6. Найдем высоту $\triangle ABP$, опущенную из вершины $P$ на сторону $AB$. Пусть $M$ - середина $AB$. Тогда $AM = \frac{1}{2} AB = 2$. $OM = \sqrt{R^2 - AM^2} = \sqrt{(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2 - 2^2} = \sqrt{\frac{16 \cdot 3}{9} - 4} = \sqrt{\frac{16}{3} - 4} = \sqrt{\frac{16 - 12}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
7. $PM = \sqrt{h^2 + OM^2} = \sqrt{\frac{284}{3} + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{288}{3}} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$.
8. Площадь $\triangle ABP$: $S = \frac{1}{2} AB \cdot PM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$.

Ответ: $8\sqrt{6}$.

18.
Дано: Радиус основания конуса $R = 16$, высота конуса $h = 30$. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 28. Найти расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Решение:
1. Пусть $O$ - центр основания конуса, $S$ - вершина конуса, $AB$ - хорда основания, $AB = 28$.
2. Пусть $d$ - расстояние от центра основания до хорды $AB$. $d = \sqrt{R^2 - (\frac{AB}{2})^2} = \sqrt{16^2 - 14^2} = \sqrt{256 - 196} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$.
3. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину $S$ и хорду $AB$. Это треугольник $SAB$.
4. Пусть $M$ - середина $AB$. Тогда $SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{30^2 + 60} = \sqrt{900 + 60} = \sqrt{960} = 8\sqrt{15}$.
5. Площадь $\triangle SAB = \frac{1}{2} AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 8\sqrt{15} = 112\sqrt{15}$.
6. Пусть $OK$ - расстояние от центра основания до плоскости сечения $SAB$. Тогда объем пирамиды $OABS = \frac{1}{3} S_{SAB} \cdot OK = \frac{1}{3} S_{OAB} \cdot SO$.
7. $S_{OAB} = \frac{1}{2} AB \cdot OM = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 2\sqrt{15} = 28\sqrt{15}$.
8. $\frac{1}{3} \cdot 112\sqrt{15} \cdot OK = \frac{1}{3} \cdot 28\sqrt{15} \cdot 30$, $112\sqrt{15} \cdot OK = 28\sqrt{15} \cdot 30$, $OK = \frac{28 \cdot 30}{112} = \frac{30}{4} = 7.5$.

Ответ: 7.5.