Дано:
Уравнения кривых: y = x² и y = 1 - x²
Найти: площадь фигуры, заключенной между этими кривыми, и выполнить чертеж.

Решение:
1. Найдем точки пересечения кривых. Для этого приравняем правые части уравнений:
x² = 1 - x²

2. Решим полученное уравнение:
2x² = 1
x² = 0.5
Корнями уравнения являются:
$$x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

3. Опишем построение чертежа:
- График y = x² — это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх.
- График y = 1 - x² — это парабола с вершиной в точке (0, 1), ветви которой направлены вниз.
- Фигура, площадь которой необходимо найти, находится между этими двумя параболами. Сверху она ограничена параболой y = 1 - x², а снизу — параболой y = x². Точки пересечения графиков имеют абсциссы $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. В этих точках ордината равна y = 0.5.

4. Площадь S фигуры найдем с помощью определенного интеграла в пределах от $x_1$ до $x_2$:
$$S = \int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} ((1 - x^2) - x^2) dx$$

5. Упростим подынтегральное выражение:
$$S = \int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1 - 2x^2) dx$$

6. Так как подынтегральная функция является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, мы можем упростить вычисление, удвоив интеграл по промежутку от 0 до $\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$$S = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1 - 2x^2) dx$$

7. Найдем первообразную функции:
$$F(x) = x - \frac{2x^3}{3}$$

8. Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:
$$S = 2 \left[ x - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
$$S = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2}{3} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 \right)$$

9. Выполним арифметические вычисления:
$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
$$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$
$$S = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{6} \right)$$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 6:
$$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$
Умножим полученный результат на 2:
$$S = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Ответ:
$$S = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$