Дано:
Дифференциальное уравнение $y'' + 4y' + 4y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 2$, $y'(0) = -1$.

Решение:
1. Составим характеристическое уравнение:
$$k^2 + 4k + 4 = 0$$
2. Решим характеристическое уравнение:
$$(k + 2)^2 = 0$$
$$k = -2$$
Корень $k = -2$ является кратным (имеет кратность 2).
3. Запишем общее решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x}$$
4. Найдем первую производную $y'(x)$:
$$y'(x) = -2C_1e^{-2x} + C_2e^{-2x} - 2C_2xe^{-2x}$$
5. Используем начальные условия $y(0) = 2$ и $y'(0) = -1$:
$$y(0) = C_1e^{0} + C_2 \cdot 0 \cdot e^{0} = C_1 = 2$$
$$y'(0) = -2C_1e^{0} + C_2e^{0} - 2C_2 \cdot 0 \cdot e^{0} = -2C_1 + C_2 = -1$$
6. Подставим $C_1 = 2$ во второе уравнение:
$$-2(2) + C_2 = -1$$
$$-4 + C_2 = -1$$
$$C_2 = 3$$
7. Запишем частное решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = 2e^{-2x} + 3xe^{-2x}$$

Ответ:
$$y(x) = 2e^{-2x} + 3xe^{-2x}$$