Дано:
6. Отметить на координатной прямой число $\sqrt{85}$.
7. Найти значение выражения $\frac{9b^2}{a^2-16} - \frac{9b}{a-4}$ при $a = -1.5$ и $b = 10$.
8. Вероятность того, что за год в гирлянде перегорит больше одной лампочки, равна 0.97. Вероятность того, что перегорит больше четырёх лампочек, равна 0.86. Найти вероятность того, что за год перегорит две, три или четыре лампочки.
9. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ - высота, $AB = 45$, $\sin A = \frac{1}{3}$. Найти длину отрезка $BH$.

Решение:
6. $\sqrt{85}$ находится между $\sqrt{81} = 9$ и $\sqrt{100} = 10$. Так как $85$ ближе к $81$, чем к $100$, то $\sqrt{85}$ будет ближе к $9$. Отметим точку на координатной прямой между $9$ и $10$, немного ближе к $9$.

7. 1. Подставим значения $a = -1.5$ и $b = 10$ в выражение:
$\frac{9 \cdot 10^2}{(-1.5)^2 - 16} - \frac{9 \cdot 10}{-1.5 - 4} = \frac{900}{2.25 - 16} - \frac{90}{-5.5} = \frac{900}{-13.75} + \frac{90}{5.5}$
2. Приведем к общему знаменателю:
$\frac{900}{-13.75} + \frac{90}{5.5} = \frac{900}{-13.75} + \frac{90 \cdot 2.5}{5.5 \cdot 2.5} = \frac{900}{-13.75} + \frac{225}{13.75} = \frac{-900 + 225}{13.75} = \frac{-675}{13.75}$
3. Умножим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{-675 \cdot 4}{13.75 \cdot 4} = \frac{-2700}{55}$
4. Сократим дробь на 5:
$\frac{-2700}{55} = \frac{-540}{11} = -49\frac{1}{11}$

8. 1. Пусть $P(>1)$ - вероятность, что перегорит больше одной лампочки, $P(>1) = 0.97$.
2. Пусть $P(>4)$ - вероятность, что перегорит больше четырёх лампочек, $P(>4) = 0.86$.
3. Нам нужно найти вероятность, что перегорит 2, 3 или 4 лампочки. Это можно записать как $P(2, 3, 4) = P(>1) - P(>4)$.
4. $P(2, 3, 4) = 0.97 - 0.86 = 0.11$.

9. 1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, $CH$ - высота, опущенная на гипотенузу $AB$.
2. Дано $AB = 45$ и $\sin A = \frac{1}{3}$.
3. В прямоугольном треугольнике $ACH$, $\sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{1}{3}$.
4. В прямоугольном треугольнике $ABC$, $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{3}$.
5. Следовательно, $BC = AB \cdot \sin A = 45 \cdot \frac{1}{3} = 15$.
6. По теореме Пифагора, $AC^2 + BC^2 = AB^2$, значит $AC^2 = AB^2 - BC^2 = 45^2 - 15^2 = 2025 - 225 = 1800$, $AC = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2}$.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$. В нем $BH$ - проекция катета $BC$ на гипотенузу $AB$.
8. $BH = BC \cdot \cos B$.
9. $\cos B = \sin A = \frac{1}{3}$.
10. $BH = BC \cdot \cos B = 15 \cdot \frac{1}{3} = 5$.

Ответ:
6. Отмечено на координатной прямой между 9 и 10, немного ближе к 9.
7. $-49\frac{1}{11}$
8. $0.11$
9. $5$