Дано:
Решить уравнение:
$$ \frac{3}{1 - 4y^2} + \frac{4}{2y^2 + y} = \frac{3}{4y^2 + 4y + 1} $$

Решение:
1.  Разложим знаменатели на множители.
    *   Первый знаменатель: $1 - 4y^2$. Это разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=1$, $b=2y$.
        $1 - 4y^2 = (1 - 2y)(1 + 2y)$.
    *   Второй знаменатель: $2y^2 + y$. Вынесем общий множитель $y$.
        $2y^2 + y = y(2y + 1)$.
    *   Третий знаменатель: $4y^2 + 4y + 1$. Это полный квадрат $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=2y$, $b=1$.
        $4y^2 + 4y + 1 = (2y + 1)^2$.

2.  Перепишем исходное уравнение с разложенными знаменателями:
    $$ \frac{3}{(1 - 2y)(1 + 2y)} + \frac{4}{y(2y + 1)} = \frac{3}{(2y + 1)^2} $$
    Заметим, что $1 + 2y$ и $2y + 1$ - это одно и то же выражение.

3.  Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $y$. Знаменатели не могут быть равны нулю.
    *   $(1 - 2y)(1 + 2y) \neq 0 \Rightarrow 1 - 2y \neq 0$ и $1 + 2y \neq 0$.
        $2y \neq 1 \Rightarrow y \neq \frac{1}{2}$.
        $2y \neq -1 \Rightarrow y \neq -\frac{1}{2}$.
    *   $y(2y + 1) \neq 0 \Rightarrow y \neq 0$ и $2y + 1 \neq 0$.
        $y \neq 0$.
        $y \neq -\frac{1}{2}$ (уже учтено).
    *   $(2y + 1)^2 \neq 0 \Rightarrow 2y + 1 \neq 0$.
        $y \neq -\frac{1}{2}$ (уже учтено).
    Таким образом, ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq \frac{1}{2}$, $y \neq -\frac{1}{2}$.

4.  Приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $(1 - 2y)(2y + 1)$, $y(2y + 1)$ и $(2y + 1)^2$ будет $y(1 - 2y)(2y + 1)^2$.
    Умножим каждую дробь на недостающие множители НОЗ:
    $$ \frac{3 \cdot y(2y + 1)}{(1 - 2y)(2y + 1) \cdot y(2y + 1)} + \frac{4 \cdot (1 - 2y)(2y + 1)}{y(2y + 1) \cdot (1 - 2y)(2y + 1)} = \frac{3 \cdot y(1 - 2y)}{(2y + 1)^2 \cdot y(1 - 2y)} $$
    После приведения к общему знаменателю, мы можем приравнять числители, так как знаменатель не равен нулю в ОДЗ.
    $$ 3y(2y + 1) + 4(1 - 2y)(2y + 1) = 3y(1 - 2y) $$

5.  Раскроем скобки и упростим уравнение:
    $$ 6y^2 + 3y + 4(2y + 1 - 4y^2 - 2y) = 3y - 6y^2 $$
    $$ 6y^2 + 3y + 4(-4y^2 + 1) = 3y - 6y^2 $$
    $$ 6y^2 + 3y - 16y^2 + 4 = 3y - 6y^2 $$
    $$ -10y^2 + 3y + 4 = 3y - 6y^2 $$

6.  Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
    $$ -10y^2 + 3y + 4 - 3y + 6y^2 = 0 $$
    $$ -4y^2 + 4 = 0 $$

7.  Решим полученное квадратное уравнение:
    $$ -4y^2 = -4 $$
    $$ y^2 = \frac{-4}{-4} $$
    $$ y^2 = 1 $$
    Извлечем квадратный корень из обеих частей:
    $$ y = \pm \sqrt{1} $$
    $$ y_1 = 1 $$
    $$ y_2 = -1 $$

8.  Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ.
    ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq \frac{1}{2}$, $y \neq -\frac{1}{2}$.
    *   Для $y_1 = 1$: $1 \neq 0$, $1 \neq \frac{1}{2}$, $1 \neq -\frac{1}{2}$. Корень подходит.
    *   Для $y_2 = -1$: $-1 \neq 0$, $-1 \neq \frac{1}{2}$, $-1 \neq -\frac{1}{2}$. Корень подходит.

Ответ:
$y_1 = 1$, $y_2 = -1$.