Дано:
Подброс 3 монеты.
Пусть $\xi$ - случайная величина, равная числу выпавших орлов.
Найти:
1.  Пространство элементарных исходов $\Omega$.
2.  Закон распределения случайной величины $\xi$.
3.  Функцию распределения $F_\xi(x)$.
Параметры: $n=3$ (количество испытаний), $p=\frac{1}{2}$ (вероятность выпадения орла), $q=\frac{1}{2}$ (вероятность выпадения решки). Случайная величина $\xi$ имеет биномиальное распределение.

Решение:
1.  Определение пространства элементарных исходов $\Omega$.
    При подбрасывании трех монет возможны следующие исходы (О - орел, Р - решка):
    ООО, ООР, ОРО, РОO, ОРР, РОР, РРО, РРР.
    Таким образом, пространство элементарных исходов:
    $\Omega = \{ООО, ООР, ОРО, РОO, ОРР, РОР, РРО, РРР\}$.
    Число элементарных исходов равно $2^3 = 8$.

2.  Определение возможных значений случайной величины $\xi$ и нахождение ее закона распределения.
    Случайная величина $\xi$ равна числу выпавших орлов. Возможные значения $\xi$: 0, 1, 2, 3.
    Для нахождения вероятностей используем формулу биномиального распределения:
    $P(\xi = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
    В нашем случае $n=3$, $p=\frac{1}{2}$, $q=\frac{1}{2}$.

    *   $k=0$ (0 орлов, 3 решки):
        $P(\xi = 0) = C_3^0 \cdot (\frac{1}{2})^0 \cdot (\frac{1}{2})^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
        (Исход: РРР)

    *   $k=1$ (1 орел, 2 решки):
        $P(\xi = 1) = C_3^1 \cdot (\frac{1}{2})^1 \cdot (\frac{1}{2})^{3-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^2 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$.
        (Исходы: ОРР, РОР, РРО)

    *   $k=2$ (2 орла, 1 решка):
        $P(\xi = 2) = C_3^2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{3-2} = 3 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$.
        (Исходы: ООР, ОРО, РОO)

    *   $k=3$ (3 орла, 0 решек):
        $P(\xi = 3) = C_3^3 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^{3-3} = 1 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot 1 = \frac{1}{8}$.
        (Исход: ООО)

    Закон распределения случайной величины $\xi$ можно представить в виде таблицы:
    $\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3
    ------- | -------- | -------- | -------- | --------
    $P(\xi=k)$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{8}$

    Проверка: Сумма вероятностей должна быть равна 1.
    $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1+3+3+1}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

3.  Нахождение функции распределения $F_\xi(x)$.
    Функция распределения $F_\xi(x) = P(\xi \le x)$ определяется как сумма вероятностей всех значений $\xi$, которые меньше или равны $x$.

    *   Если $x < 0$: $F_\xi(x) = P(\xi \le x) = 0$.
    *   Если $0 \le x < 1$: $F_\xi(x) = P(\xi \le x) = P(\xi = 0) = \frac{1}{8}$.
    *   Если $1 \le x < 2$: $F_\xi(x) = P(\xi \le x) = P(\xi = 0) + P(\xi = 1) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
    *   Если $2 \le x < 3$: $F_\xi(x) = P(\xi \le x) = P(\xi = 0) + P(\xi = 1) + P(\xi = 2) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}$.
    *   Если $x \ge 3$: $F_\xi(x) = P(\xi \le x) = P(\xi = 0) + P(\xi = 1) + P(\xi = 2) + P(\xi = 3) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = 1$.

    Таким образом, функция распределения имеет вид:
    $$
    F_\xi(x) =
    \begin{cases}
    0, & x < 0 \\
    \frac{1}{8}, & 0 \le x < 1 \\
    \frac{1}{2}, & 1 \le x < 2 \\
    \frac{7}{8}, & 2 \le x < 3 \\
    1, & x \ge 3
    \end{cases}
    $$

Ответ:
Пространство элементарных исходов: $\Omega = \{ООО, ООР, ОРО, РОO, ОРР, РОР, РРО, РРР\}$.
Закон распределения случайной величины $\xi$ (число орлов):
$\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3
------- | -------- | -------- | -------- | --------
$P(\xi=k)$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{8}$

Функция распределения $F_\xi(x)$:
$$
F_\xi(x) =
\begin{cases}
0, & x < 0 \\
\frac{1}{8}, & 0 \le x < 1 \\
\frac{1}{2}, & 1 \le x < 2 \\
\frac{7}{8}, & 2 \le x < 3 \\
1, & x \ge 3
\end{cases}
$$