Дано: Параллелограмм $ABCD$, $\angle A = 60^\circ$, $AM$ - биссектриса $\angle A$, $AM$ пересекает $BC$ в точке $M$, $AM \perp DM$, $AB = 8$.
Найти: Периметр параллелограмма $ABCD$.

Решение:
1. Так как $AM$ - биссектриса угла $A$, то $\angle BAM = \angle MAD = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
2. В треугольнике $AMD$ $\angle AMD = 90^\circ$, следовательно, $\angle ADM = 90^\circ - \angle MAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
3. $\angle ADC = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
4. $\angle MDC = \angle ADC - \angle ADM = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.
5. В треугольнике $AMD$ $\angle MAD = 30^\circ$, $\angle ADM = 60^\circ$, $\angle AMD = 90^\circ$.
6. В треугольнике $CDM$ $\angle MDC = 60^\circ$. Так как $AM \perp DM$, то $\angle AMD = 90^\circ$. Следовательно, $\angle DMC = 180^\circ - \angle AMD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Тогда $\angle MCD = 180^\circ - \angle MDC - \angle DMC = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.
7. Рассмотрим треугольник $ABM$. $\angle BAM = 30^\circ$. $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Тогда $\angle BMA = 180^\circ - \angle BAM - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$.
8. Так как $\angle BAM = \angle BMA = 30^\circ$, то треугольник $ABM$ равнобедренный, и $AB = BM = 8$.
9. Рассмотрим треугольник $CDM$. $\angle MCD = 30^\circ$, $\angle MDC = 60^\circ$. Следовательно, $DM$ - биссектриса угла $D$.
10. Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $BC = AD$. $BC = BM + MC$.
11. Рассмотрим треугольник $CDM$. $\angle MCD = 30^\circ$, $\angle MDC = 60^\circ$. Тогда $MC = \frac{1}{2}CD$.
12. Так как $CD = AB = 8$, то $MC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.
13. $BC = BM + MC = 8 + 4 = 12$. Следовательно, $AD = 12$.
14. Периметр параллелограмма $P = 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 2 \cdot 20 = 40$.

Ответ: 40.