Дано: Балка на двух опорах с нагрузками:
Сила $F = 25$ кН на расстоянии $a = 1$ м от левой опоры.
Равномерно распределенная нагрузка $q = 30$ кН/м на участке длиной $b = 3$ м, начинающаяся на расстоянии $a = 1$ м от левой опоры.
Момент $M = 20$ кН·м на расстоянии $a + b = 4$ м от левой опоры и $c = 0.5$ м от правой опоры.

Решение:
1. Определим реакции опор. Обозначим реакции левой и правой опор как $R_A$ и $R_B$ соответственно.
2. Запишем уравнение равновесия суммы моментов относительно точки A (левая опора):
$$ \sum M_A = 0 $$
$$ R_B \cdot (a + b) - F \cdot a - q \cdot b \cdot (a + \frac{b}{2}) - M = 0 $$
3. Подставим известные значения:
$$ R_B \cdot (1 + 3) - 25 \cdot 1 - 30 \cdot 3 \cdot (1 + \frac{3}{2}) - 20 = 0 $$
$$ 4R_B - 25 - 90 \cdot 2.5 - 20 = 0 $$
$$ 4R_B - 25 - 225 - 20 = 0 $$
$$ 4R_B = 270 $$
$$ R_B = \frac{270}{4} = 67.5 \text{ кН} $$
4. Запишем уравнение равновесия суммы сил по вертикали:
$$ \sum F_y = 0 $$
$$ R_A + R_B - F - q \cdot b = 0 $$
5. Подставим известные значения:
$$ R_A + 67.5 - 25 - 30 \cdot 3 = 0 $$
$$ R_A + 67.5 - 25 - 90 = 0 $$
$$ R_A - 47.5 = 0 $$
$$ R_A = 47.5 \text{ кН} $$
6. Проверим правильность определения реакций опор, подставив значения в уравнение суммы моментов относительно точки B (правая опора):
$$ \sum M_B = 0 $$
$$ -R_A \cdot (a + b) + F \cdot b + q \cdot b \cdot \frac{b}{2} - M = 0 $$
$$ -47.5 \cdot (1 + 3) + 25 \cdot 3 + 30 \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} - 20 = 0 $$
$$ -47.5 \cdot 4 + 75 + 90 \cdot 1.5 - 20 = 0 $$
$$ -190 + 75 + 135 - 20 = 0 $$
$$ -190 + 210 - 20 = 0 $$
$$ 210 - 210 = 0 $$
$$ 0 = 0 $$
Уравнение выполняется, следовательно, реакции опор определены верно.

Ответ: $R_A = 47.5$ кН, $R_B = 67.5$ кН.