Решение задачи №1:

Дано:
Сторона квадрата $a = 25$ см $= 0.25$ м
Заряд в одной вершине $q_1 = 33$ мкКл $= 33 \cdot 10^{-6}$ Кл
Заряды в остальных вершинах $q_2 = q_3 = q_4 = -21$ мкКл $= -21 \cdot 10^{-6}$ Кл

Решение:
1. Найдем расстояние от вершины квадрата до его центра. Это половина диагонали квадрата:
$r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{0.25\sqrt{2}}{2} \approx 0.1768$ м

2. Найдем напряженность поля, создаваемую каждым зарядом в центре квадрата.
Напряженность поля точечного заряда: $E = \frac{k|q|}{r^2}$, где $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл².

$E_1 = \frac{k|q_1|}{r^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 33 \cdot 10^{-6}}{(0.1768)^2} \approx 9.5 \cdot 10^6$ В/м
$E_2 = E_3 = E_4 = \frac{k|q_2|}{r^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 21 \cdot 10^{-6}}{(0.1768)^2} \approx 6.03 \cdot 10^6$ В/м

3. Сложим векторы напряженности.  Пусть заряд $q_1$ находится в вершине A, а остальные заряды в вершинах B, C, D.  В центре квадрата O векторы $E_B$ и $E_D$ направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, как и $E_A$ и $E_C$.

Проекция результирующей напряженности на ось, направленную от A к C:
$E_{AC} = E_1 - E_3 = (9.5 - 6.03) \cdot 10^6 = 3.47 \cdot 10^6$ В/м

Проекция результирующей напряженности на ось, направленную от B к D:
$E_{BD} = E_2 - E_4 = 0$ В/м

4. Результирующая напряженность поля в центре квадрата:
$E = \sqrt{E_{AC}^2 + E_{BD}^2} = E_{AC} = 3.47 \cdot 10^6$ В/м

Ответ: $E = 3.47 \cdot 10^6$ В/м

Решение задачи №2:

Дано:
Площадь пластин $S = 100$ см$^2 = 0.01$ м$^2$
Расстояние между пластинами $d = 2$ см $= 0.02$ м
Заряд левой пластины $q_л = 2$ нКл $= 2 \cdot 10^{-9}$ Кл
Заряд правой пластины $q_п = 4$ нКл $= 4 \cdot 10^{-9}$ Кл

Решение:
1. Найдем поверхностную плотность зарядов на пластинах.
$\sigma_л = \frac{q_л}{S} = \frac{2 \cdot 10^{-9}}{0.01} = 2 \cdot 10^{-7}$ Кл/м$^2$
$\sigma_п = \frac{q_п}{S} = \frac{4 \cdot 10^{-9}}{0.01} = 4 \cdot 10^{-7}$ Кл/м$^2$

2. Найдем напряженность электрического поля непосредственно слева от левой пластины.
По теореме Гаусса, поле, создаваемое одной пластиной: $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$, где $\epsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м.
Слева от левой пластины поле создается левой и правой пластинами. Поле левой пластины направлено влево, а поле правой пластины - вправо.
$E_{сл} = \frac{\sigma_л}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma_п}{2\epsilon_0} = \frac{2 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} - \frac{4 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = (1.13 - 2.26) \cdot 10^4 = -1.13 \cdot 10^4$ В/м
Знак минус означает, что поле направлено влево.

3. Найдем напряженность электрического поля между пластинами.
Между пластинами поле левой пластины направлено вправо, а поле правой пластины - влево.
$E_{между} = \frac{\sigma_л}{2\epsilon_0} + \frac{\sigma_п}{2\epsilon_0} = \frac{2 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} + \frac{4 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = (1.13 + 2.26) \cdot 10^4 = 3.39 \cdot 10^4$ В/м
Поле направлено вправо.

4. Найдем напряженность электрического поля справа от правой пластины.
Справа от правой пластины поле левой пластины направлено влево, а поле правой пластины - вправо.
$E_{сп} = -\frac{\sigma_л}{2\epsilon_0} + \frac{\sigma_п}{2\epsilon_0} = -\frac{2 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} + \frac{4 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = (-1.13 + 2.26) \cdot 10^4 = 1.13 \cdot 10^4$ В/м
Поле направлено вправо.

5. Найдем разность потенциалов между пластинами.
$U = E_{между} \cdot d = 3.39 \cdot 10^4 \cdot 0.02 = 678$ В

Ответ:
а) $E_{сл} = -1.13 \cdot 10^4$ В/м
б) $E_{между} = 3.39 \cdot 10^4$ В/м
в) $E_{сп} = 1.13 \cdot 10^4$ В/м
$U = 678$ В

Решение задачи №3:

Дано:
Радиус сферы $R = 10$ см $= 0.1$ м
Расстояния от центра сферы $r_1 = 12$ см $= 0.12$ м, $r_2 = 15$ см $= 0.15$ м
Скорости электрона $v_1 = 2 \cdot 10^5$ м/с, $v_2 = 2 \cdot 10^6$ м/с
Масса электрона $m = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Заряд электрона $e = -1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Решение:
1. Запишем закон сохранения энергии для электрона:
$\frac{mv_1^2}{2} + e\varphi_1 = \frac{mv_2^2}{2} + e\varphi_2$
где $\varphi_1$ и $\varphi_2$ - потенциалы в точках на расстояниях $r_1$ и $r_2$ от центра сферы.

2. Выразим разность потенциалов:
$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2e} = \frac{9.11 \cdot 10^{-31}((2 \cdot 10^6)^2 - (2 \cdot 10^5)^2)}{2 \cdot (-1.6 \cdot 10^{-19})} \approx -11.3$ В

3. Потенциал сферы: $\varphi = \frac{kQ}{R}$, где $Q$ - заряд сферы.
Потенциал в точке на расстоянии $r$ от центра сферы: $\varphi(r) = \frac{kQ}{r}$ при $r > R$.
Тогда $\varphi_1 = \frac{kQ}{r_1}$ и $\varphi_2 = \frac{kQ}{r_2}$.
$\varphi_1 - \varphi_2 = kQ(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}) = kQ(\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2})$

4. Выразим заряд сферы:
$Q = \frac{(\varphi_1 - \varphi_2)r_1 r_2}{k(r_2 - r_1)} = \frac{-11.3 \cdot 0.12 \cdot 0.15}{9 \cdot 10^9 (0.15 - 0.12)} = \frac{-11.3 \cdot 0.12 \cdot 0.15}{9 \cdot 10^9 \cdot 0.03} \approx -7.53 \cdot 10^{-10}$ Кл

5. Найдем поверхностную плотность заряда сферы:
$\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2} = \frac{-7.53 \cdot 10^{-10}}{4\pi (0.1)^2} \approx -6 \cdot 10^{-9}$ Кл/м$^2$

Ответ: $\sigma = -6 \cdot 10^{-9}$ Кл/м$^2$

Решение задачи №4:

Дано:
$n$ - количество маленьких капель
$\varphi_0$ - потенциал каждой маленькой капли

Решение:
1. Найдем радиус маленькой капли.
Потенциал капли: $\varphi_0 = \frac{k q}{r}$, где $q$ - заряд капли, $r$ - радиус капли.
$r = \frac{k q}{\varphi_0}$

2. Найдем радиус большой капли.
Объем большой капли равен сумме объемов маленьких капель:
$V = n \cdot V_0$, где $V_0 = \frac{4}{3}\pi r^3$ - объем маленькой капли, $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ - объем большой капли, $R$ - радиус большой капли.
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = n r^3$
$R = r \sqrt[3]{n}$

3. Найдем заряд большой капли.
Заряд большой капли равен сумме зарядов маленьких капель:
$Q = n q$

4. Найдем потенциал большой капли:
$\varphi = \frac{k Q}{R} = \frac{k (n q)}{r \sqrt[3]{n}} = \frac{k q}{r} \cdot \frac{n}{\sqrt[3]{n}} = \varphi_0 \cdot n^{2/3}$

Ответ: $\varphi = \varphi_0 \cdot n^{2/3}$

Решение задачи №5:

Дано:
ЭДС батареи $\varepsilon = 100$ В
$R_1 = 100$ Ом
$R_2 = 200$ Ом
$R_3 = 300$ Ом
Сопротивление вольтметра $R_V = 2000$ Ом

Решение:
1. Найдем общее сопротивление цепи.
Сопротивление параллельного участка $R_{23V} = \frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_V}} = \frac{1}{\frac{1}{200} + \frac{1}{300} + \frac{1}{2000}} = \frac{1}{\frac{10+6+1}{2000}} = \frac{2000}{17} \approx 117.65$ Ом
Общее сопротивление цепи $R = R_1 + R_{23V} = 100 + 117.65 = 217.65$ Ом

2. Найдем ток в цепи:
$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{100}{217.65} \approx 0.459$ А

3. Найдем напряжение на параллельном участке:
$U_{23V} = I \cdot R_{23V} = 0.459 \cdot 117.65 \approx 54$ В

Ответ: Вольтметр покажет напряжение 54 В.

Решение задачи №6:

Дано:
Длина проводника $l = 20$ см $= 0.2$ м
Ток в проводнике $I = 12$ А
Расстояние от проводника $a = 8$ см $= 0.08$ м

Решение:
1. Индукция магнитного поля, создаваемого отрезком проводника с током в точке, равноудаленной от его концов:
$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} (\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$, где $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м - магнитная постоянная.
В нашем случае $\alpha_1 = -\alpha_2 = -\alpha$, где $\alpha$ - угол между перпендикуляром, опущенным из точки на проводник, и линией, соединяющей точку с концом проводника.
Тогда $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} 2\sin\alpha = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \sin\alpha$
$\sin\alpha = \frac{l/2}{\sqrt{a^2 + (l/2)^2}} = \frac{0.1}{\sqrt{0.08^2 + 0.1^2}} = \frac{0.1}{\sqrt{0.0064 + 0.01}} = \frac{0.1}{\sqrt{0.0164}} \approx \frac{0.1}{0.128} \approx 0.78$

2. Подставим значения:
$B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 12}{2\pi \cdot 0.08} \cdot 0.78 = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 12}{0.08} \cdot 0.78 = \frac{24 \cdot 10^{-7}}{0.08} \cdot 0.78 = 3 \cdot 10^{-5} \cdot 78 = 234 \cdot 10^{-7} = 2.34 \cdot 10^{-5}$ Тл

Ответ: $B = 2.34 \cdot 10^{-5}$ Тл

Решение задачи №7:

Дано:
Индукция магнитного поля $B = 0.06$ Тл
Ширина рамки $b = 5$ см $= 0.05$ м
Длина рамки $l = 8$ см $= 0.08$ м
Число витков $N = 200$
Ток в рамке $I = 0.5$ А

Решение:
1. Найдем площадь рамки:
$S = b \cdot l = 0.05 \cdot 0.08 = 0.004$ м$^2$

2. Найдем магнитный момент рамки:
$p_m = N \cdot I \cdot S = 200 \cdot 0.5 \cdot 0.004 = 100 \cdot 0.004 = 0.4$ А·м$^2$

3. Найдем работу, необходимую для поворота рамки на угол $\alpha$.
$A = -p_m B (\cos\alpha_2 - \cos\alpha_1)$
В начальном положении рамка перпендикулярна линиям магнитной индукции, значит