Дано: Точка M лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC. ME и MD - перпендикуляры, опущенные из точки M на стороны AC и BC соответственно. ME = MD. Требуется найти отношение площадей треугольников AMC и BMC.

Решение:
1. Площадь треугольника AMC равна половине произведения основания AC на высоту ME:
$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot ME$
2. Площадь треугольника BMC равна половине произведения основания BC на высоту MD:
$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MD$
3. Найдем отношение площадей треугольников AMC и BMC:
$\frac{S_{AMC}}{S_{BMC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot ME}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot MD}$
4. Так как ME = MD, то они сокращаются:
$\frac{S_{AMC}}{S_{BMC}} = \frac{AC}{BC}$

Ответ: $\frac{AC}{BC}$