Дано:
Решить дифференциальное уравнение $y'' + 9y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 1$, $y'(1) = 0$.

Решение:
1.  Составим характеристическое уравнение:
$$k^2 + 9 = 0$$
2.  Найдем корни характеристического уравнения:
$$k^2 = -9$$
$$k = \pm \sqrt{-9} = \pm 3i$$
3.  Запишем общее решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)$$
4.  Найдем первую производную $y'(x)$:
$$y'(x) = -3C_1 \sin(3x) + 3C_2 \cos(3x)$$
5.  Используем первое начальное условие $y(0) = 1$:
$$y(0) = C_1 \cos(3 \cdot 0) + C_2 \sin(3 \cdot 0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = C_1$$
$$C_1 = 1$$
6.  Используем второе начальное условие $y'(1) = 0$:
$$y'(1) = -3C_1 \sin(3 \cdot 1) + 3C_2 \cos(3 \cdot 1) = -3C_1 \sin(3) + 3C_2 \cos(3) = 0$$
7.  Подставим $C_1 = 1$:
$$-3 \sin(3) + 3C_2 \cos(3) = 0$$
$$3C_2 \cos(3) = 3 \sin(3)$$
$$C_2 = \frac{\sin(3)}{\cos(3)} = \tan(3)$$
8.  Запишем частное решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = \cos(3x) + \tan(3) \sin(3x)$$

Ответ:
$$y(x) = \cos(3x) + \tan(3) \sin(3x)$$