Дано: Монету бросают пять раз.
Найти вероятность того, что «герб» выпадет:
а) менее двух раз;
б) не менее двух раз.

Решение:
Пусть $p$ - вероятность выпадения герба, $q$ - вероятность не выпадения герба. Считаем, что монета симметричная, поэтому $p = q = 0.5$.
Используем формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $n$ - количество испытаний, $k$ - количество успехов.

а) Менее двух раз означает 0 или 1 раз.
1. Вероятность, что герб выпадет 0 раз:
$P_5(0) = C_5^0 (0.5)^0 (0.5)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0.5)^5 = (0.5)^5 = \frac{1}{32}$.
2. Вероятность, что герб выпадет 1 раз:
$P_5(1) = C_5^1 (0.5)^1 (0.5)^4 = 5 \cdot (0.5)^5 = \frac{5}{32}$.
3. Вероятность, что герб выпадет менее двух раз:
$P = P_5(0) + P_5(1) = \frac{1}{32} + \frac{5}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$.

б) Не менее двух раз означает 2, 3, 4 или 5 раз.
1. Вероятность, что герб выпадет 2 раза:
$P_5(2) = C_5^2 (0.5)^2 (0.5)^3 = 10 \cdot (0.5)^5 = \frac{10}{32}$.
2. Вероятность, что герб выпадет 3 раза:
$P_5(3) = C_5^3 (0.5)^3 (0.5)^2 = 10 \cdot (0.5)^5 = \frac{10}{32}$.
3. Вероятность, что герб выпадет 4 раза:
$P_5(4) = C_5^4 (0.5)^4 (0.5)^1 = 5 \cdot (0.5)^5 = \frac{5}{32}$.
4. Вероятность, что герб выпадет 5 раз:
$P_5(5) = C_5^5 (0.5)^5 (0.5)^0 = 1 \cdot (0.5)^5 = \frac{1}{32}$.
5. Вероятность, что герб выпадет не менее двух раз:
$P = P_5(2) + P_5(3) + P_5(4) + P_5(5) = \frac{10}{32} + \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{26}{32} = \frac{13}{16}$.

Можно решить проще, используя противоположное событие:
Вероятность, что герб выпадет не менее двух раз = 1 - (Вероятность, что герб выпадет 0 раз + Вероятность, что герб выпадет 1 раз) = $1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.

Ответ:
а) $\frac{3}{16}$;
б) $\frac{13}{16}$.

Дано: Отрезок $AB$ разделен точкой $C$ в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки.
Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки $C$ и две — правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Решение:
1. Найдем вероятность попадания точки левее точки $C$.
Отношение $AC:CB = 2:1$, значит, $AC = \frac{2}{3} AB$, $CB = \frac{1}{3} AB$.
Вероятность попасть левее $C$ равна $p = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{3}$.
Вероятность попасть правее $C$ равна $q = \frac{CB}{AB} = \frac{1}{3}$.
2. Используем формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $n = 4$ (количество точек), $k = 2$ (количество точек левее $C$).
$P_4(2) = C_4^2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 = 6 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$.