Дано:
Задание состоит из трех пронумерованных разделов (3, 13, 23), каждый из которых содержит два пункта (a и b). Необходимо решить все пункты.

Раздел 3:
a) Вычислить определенный интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{2}} 3\cos x \, dx$.
b) Вычислить определенный интеграл $\int_0^2 \left(1 - \frac{x}{2}\right)^4 \, dx$.

Раздел 13:
a) Вычислить определенный интеграл $\int_2^3 (3x^2 - 2x) \, dx$.
b) Вычислить определенный интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3\sin x \, dx$.

Раздел 23:
a) Вычислить определенный интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{12}} (108\sin 6x) \, dx$.
b) Вычислить определенный интеграл $\int_{-1}^1 (7 - 5x) \, dx$.

Решение:

Решение раздела 3:

3.a)
Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{2}} 3\cos x \, dx$.
Решение:
1. Найдем первообразную для функции $3\cos x$. Первообразная для $\cos x$ равна $\sin x$. Следовательно, первообразная для $3\cos x$ равна $3\sin x$.
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная $f(x)$.
3. Подставим пределы интегрирования:
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3\cos x \, dx = [3\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} $$
4. Вычислим значение первообразной в верхнем пределе: $3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \cdot 1 = 3$.
5. Вычислим значение первообразной в нижнем пределе: $3\sin(0) = 3 \cdot 0 = 0$.
6. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе: $3 - 0 = 3$.
Ответ для 3.a): $\int_0^{\frac{\pi}{2}} 3\cos x \, dx = 3$.

3.b)
Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_0^2 \left(1 - \frac{x}{2}\right)^4 \, dx$.
Решение:
1. Для вычисления этого интеграла используем метод замены переменной. Пусть $u = 1 - \frac{x}{2}$.
2. Найдем дифференциал $du$: $du = -\frac{1}{2} \, dx$, откуда $dx = -2 \, du$.
3. Изменим пределы интегрирования в соответствии с заменой:
   При $x = 0$, $u = 1 - \frac{0}{2} = 1$.
   При $x = 2$, $u = 1 - \frac{2}{2} = 1 - 1 = 0$.
4. Подставим замену и новые пределы в интеграл:
$$ \int_0^2 \left(1 - \frac{x}{2}\right)^4 \, dx = \int_1^0 u^4 (-2 \, du) $$
5. Вынесем константу $-2$ за знак интеграла и поменяем пределы интегрирования местами, изменив знак перед интегралом:
$$ -2 \int_1^0 u^4 \, du = 2 \int_0^1 u^4 \, du $$
6. Найдем первообразную для $u^4$. Первообразная равна $\frac{u^{4+1}}{4+1} = \frac{u^5}{5}$.
7. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$$ 2 \left[\frac{u^5}{5}\right]_0^1 $$
8. Вычислим значение в верхнем пределе: $\frac{1^5}{5} = \frac{1}{5}$.
9. Вычислим значение в нижнем пределе: $\frac{0^5}{5} = 0$.
10. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе и умножим на 2: $2 \left(\frac{1}{5} - 0\right) = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.
Ответ для 3.b): $\int_0^2 \left(1 - \frac{x}{2}\right)^4 \, dx = \frac{2}{5}$.

Решение раздела 13:

13.a)
Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_2^3 (3x^2 - 2x) \, dx$.
Решение:
1. Найдем первообразную для функции $3x^2 - 2x$. Первообразная для $3x^2$ равна $3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$. Первообразная для $-2x$ равна $-2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2$.
   Таким образом, первообразная для $3x^2 - 2x$ равна $x^3 - x^2$.
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$$ \int_2^3 (3x^2 - 2x) \, dx = [x^3 - x^2]_2^3 $$
3. Вычислим значение первообразной в верхнем пределе (x=3): $3^3 - 3^2 = 27 - 9 = 18$.
4. Вычислим значение первообразной в нижнем пределе (x=2): $2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4$.
5. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе: $18 - 4 = 14$.
Ответ для 13.a): $\int_2^3 (3x^2 - 2x) \, dx = 14$.

13.b)
Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3\sin x \, dx$.
Решение:
1. Найдем первообразную для функции $3\sin x$. Первообразная для $\sin x$ равна $-\cos x$. Следовательно, первообразная для $3\sin x$ равна $-3\cos x$.
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3\sin x \, dx = [-3\cos x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} $$
3. Вычислим значение первообразной в верхнем пределе (x=$\frac{\pi}{2}$): $-3\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3 \cdot 0 = 0$.
4. Вычислим значение первообразной в нижнем пределе (x=$-\frac{\pi}{2}$): $-3\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -3 \cdot 0 = 0$.
5. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе: $0 - 0 = 0$.
   (Примечание: Функция $f(x) = 3\sin x$ является нечетной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля. Интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу всегда равен нулю.)
Ответ для 13.b): $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3\sin x \, dx = 0$.

Решение раздела 23:

23.a)
Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{12}} (108\sin 6x) \, dx$.
Решение:
1. Для вычисления этого интеграла используем метод замены переменной. Пусть $u = 6x$.
2. Найдем дифференциал $du$: $du = 6 \, dx$, откуда $dx = \frac{1}{6} \, du$.
3. Изменим пределы интегрирования в соответствии с заменой:
   При $x = 0$, $u = 6 \cdot 0 = 0$.
   При $x = \frac{\pi}{12}$, $u = 6 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$.
4. Подставим замену и новые пределы в интеграл:
$$ \int_0^{\frac{\pi}{12}} (108\sin 6x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (108\sin u) \left(\frac{1}{6} \, du\right) $$
5. Вынесем константы за знак интеграла:
$$ \frac{108}{6} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin u \, du = 18 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin u \, du $$
6. Найдем первообразную для $\sin u$. Первообразная равна $-\cos u$.
7. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$$ 18 [-\cos u]_0^{\frac{\pi}{2}} $$
8. Вычислим значение в верхнем пределе: $-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -0 = 0$.
9. Вычислим значение в нижнем пределе: $-\cos(0) = -1$.
10. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе и умножим на 18: $18 (0 - (-1)) = 18 \cdot 1 = 18$.
Ответ для 23.a): $\int_0^{\frac{\pi}{12}} (108\sin 6x) \, dx = 18$.

23.b)
Дано: Вычислить определенный интеграл $\int_{-1}^1 (7 - 5x) \, dx$.
Решение:
1. Найдем первообразную для функции $7 - 5x$. Первообразная для $7$ равна $7x$. Первообразная для $-5x$ равна $-5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -5 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{5}{2}x^2$.
   Таким образом, первообразная для $7 - 5x$ равна $7x - \frac{5}{2}x^2$.
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$$ \int_{-1}^1 \left(7 - 5x\right) \, dx = \left[7x - \frac{5}{2}x^2\right]_{-1}^1 $$
3. Вычислим значение первообразной в верхнем пределе (x=1): $7(1) - \frac{5}{2}(1)^2 = 7 - \frac{5}{2} = \frac{14}{2} - \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$.
4. Вычислим значение первообразной в нижнем пределе (x=-1): $7(-1) - \frac{5}{2}(-1)^2 = -7 - \frac{5}{2}(1) = -7 - \frac{5}{2} = -\frac{14}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{19}{2}$.
5. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе: $\frac{9}{2} - \left(-\frac{19}{2}\right) = \frac{9}{2} + \frac{19}{2} = \frac{28}{2} = 14$.
   (Примечание: Функция $f(x) = 7 - 5x$ состоит из четной части $7$ и нечетной части $-5x$. Интеграл от нечетной части по симметричному интервалу равен нулю. Интеграл от четной части $7$ по интервалу длиной 2 равен $7 \cdot 2 = 14$. Сумма дает 14.)
Ответ для 23.b): $\int_{-1}^1 (7 - 5x) \, dx = 14$.

Итоговый ответ:

Раздел 3:
a) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} 3\cos x \, dx = 3$.
b) $\int_0^2 \left(1 - \frac{x}{2}\right)^4 \, dx = \frac{2}{5}$.

Раздел 13:
a) $\int_2^3 (3x^2 - 2x) \, dx = 14$.
b) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3\sin x \, dx = 0$.

Раздел 23:
a) $\int_0^{\frac{\pi}{12}} (108\sin 6x) \, dx = 18$.
b) $\int_{-1}^1 (7 - 5x) \, dx = 14$.