Дано:
Система уравнений:
$$
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 13 \\
xy = -6
\end{cases}
$$

Решение:
1.  Рассмотрим первое уравнение системы: $x^2 + y^2 = 13$.
2.  Мы знаем алгебраическую тождество: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Отсюда можно выразить $x^2 + y^2$ как $(x+y)^2 - 2xy$.
3.  Подставим это выражение в первое уравнение системы:
    $(x+y)^2 - 2xy = 13$.
4.  Из второго уравнения системы мы знаем, что $xy = -6$. Подставим это значение в полученное уравнение:
    $(x+y)^2 - 2(-6) = 13$.
    $(x+y)^2 + 12 = 13$.
5.  Вычтем 12 из обеих частей уравнения:
    $(x+y)^2 = 13 - 12$.
    $(x+y)^2 = 1$.
6.  Извлечем квадратный корень из обеих частей. Это дает два возможных случая для суммы $x+y$:
    Случай A: $x+y = 1$.
    Случай B: $x+y = -1$.

7.  Теперь рассмотрим другое алгебраическое тождество: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Отсюда можно выразить $x^2 + y^2$ как $(x-y)^2 + 2xy$.
8.  Подставим это выражение в первое уравнение системы:
    $(x-y)^2 + 2xy = 13$.
9.  Из второго уравнения системы мы знаем, что $xy = -6$. Подставим это значение:
    $(x-y)^2 + 2(-6) = 13$.
    $(x-y)^2 - 12 = 13$.
10. Прибавим 12 к обеим частям уравнения:
    $(x-y)^2 = 13 + 12$.
    $(x-y)^2 = 25$.
11. Извлечем квадратный корень из обеих частей. Это дает два возможных случая для разности $x-y$:
    Случай C: $x-y = 5$.
    Случай D: $x-y = -5$.

12. Теперь нам нужно рассмотреть все комбинации этих случаев, чтобы найти пары $(x, y)$.

    Комбинация 1: Случай A и Случай C
    $$
    \begin{cases}
    x+y = 1 \\
    x-y = 5
    \end{cases}
    $$
    Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 1+5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$.
    Подставим $x=3$ в первое уравнение: $3+y = 1 \Rightarrow y = 1-3 \Rightarrow y = -2$.
    Проверка: $3^2 + (-2)^2 = 9+4 = 13$. $3 \cdot (-2) = -6$. Решение $(3, -2)$ верно.

    Комбинация 2: Случай A и Случай D
    $$
    \begin{cases}
    x+y = 1 \\
    x-y = -5
    \end{cases}
    $$
    Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 1+(-5) \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$.
    Подставим $x=-2$ в первое уравнение: $-2+y = 1 \Rightarrow y = 1+2 \Rightarrow y = 3$.
    Проверка: $(-2)^2 + 3^2 = 4+9 = 13$. $(-2) \cdot 3 = -6$. Решение $(-2, 3)$ верно.

    Комбинация 3: Случай B и Случай C
    $$
    \begin{cases}
    x+y = -1 \\
    x-y = 5
    \end{cases}
    $$
    Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = -1+5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
    Подставим $x=2$ в первое уравнение: $2+y = -1 \Rightarrow y = -1-2 \Rightarrow y = -3$.
    Проверка: $2^2 + (-3)^2 = 4+9 = 13$. $2 \cdot (-3) = -6$. Решение $(2, -3)$ верно.

    Комбинация 4: Случай B и Случай D
    $$
    \begin{cases}
    x+y = -1 \\
    x-y = -5
    \end{cases}
    $$
    Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = -1+(-5) \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3$.
    Подставим $x=-3$ в первое уравнение: $-3+y = -1 \Rightarrow y = -1+3 \Rightarrow y = 2$.
    Проверка: $(-3)^2 + 2^2 = 9+4 = 13$. $(-3) \cdot 2 = -6$. Решение $(-3, 2)$ верно.

Ответ:
Система имеет четыре решения:
$(3, -2)$
$(-2, 3)$
$(2, -3)$
$(-3, 2)$