Дано:
Уравнение:
$$ \frac{2x - 1}{x + 7} = \frac{3x + 4}{x - 1} $$

Решение:
1.  Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
    $x + 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$
    $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

2.  Перемножим части уравнения крест-накрест, чтобы избавиться от дробей:
    $(2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7)$

3.  Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
    Левая часть:
    $(2x - 1)(x - 1) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-1) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-1)$
    $= 2x^2 - 2x - x + 1$
    $= 2x^2 - 3x + 1$

    Правая часть:
    $(3x + 4)(x + 7) = 3x \cdot x + 3x \cdot 7 + 4 \cdot x + 4 \cdot 7$
    $= 3x^2 + 21x + 4x + 28$
    $= 3x^2 + 25x + 28$

4.  Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:
    $2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28$

5.  Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Вычтем $2x^2 - 3x + 1$ из обеих частей уравнения:
    $0 = 3x^2 - 2x^2 + 25x - (-3x) + 28 - 1$
    $0 = x^2 + 25x + 3x + 27$
    $0 = x^2 + 28x + 27$
    Таким образом, получаем квадратное уравнение:
    $x^2 + 28x + 27 = 0$

6.  Решим квадратное уравнение $x^2 + 28x + 27 = 0$ с помощью формулы дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и формулы корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
    В данном уравнении $a = 1$, $b = 28$, $c = 27$.

    Вычислим дискриминант:
    $D = (28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27$
    $D = 784 - 108$
    $D = 676$

    Найдем корни уравнения:
    $x = \frac{-28 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1}$
    Так как $\sqrt{676} = 26$, получаем:
    $x = \frac{-28 \pm 26}{2}$

    Найдем два корня:
    $x_1 = \frac{-28 + 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
    $x_2 = \frac{-28 - 26}{2} = \frac{-54}{2} = -27$

7.  Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ.
    Для $x_1 = -1$: $-1 \neq -7$ и $-1 \neq 1$. Корень $x_1 = -1$ подходит.
    Для $x_2 = -27$: $-27 \neq -7$ и $-27 \neq 1$. Корень $x_2 = -27$ подходит.

8.  Выполним проверку для каждого корня, подставив его в исходное уравнение.

    Проверка для $x_1 = -1$:
    Левая часть: $\frac{2(-1) - 1}{-1 + 7} = \frac{-2 - 1}{6} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
    Правая часть: $\frac{3(-1) + 4}{-1 - 1} = \frac{-3 + 4}{-2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
    Левая часть равна правой части, значит, $x_1 = -1$ является верным решением.

    Проверка для $x_2 = -27$:
    Левая часть: $\frac{2(-27) - 1}{-27 + 7} = \frac{-54 - 1}{-20} = \frac{-55}{-20} = \frac{11}{4}$
    Правая часть: $\frac{3(-27) + 4}{-27 - 1} = \frac{-81 + 4}{-28} = \frac{-77}{-28} = \frac{11}{4}$
    Левая часть равна правой части, значит, $x_2 = -27$ является верным решением.

Ответ:
$x_1 = -1$, $x_2 = -27$.