Дано: Выражение $\sqrt{2\sqrt{5} + 6 - \sqrt{5}}$.
Решение:
1. Упростим выражение под внешним корнем:
$2\sqrt{5} + 6 - \sqrt{5} = \sqrt{5} + 6$.
2. Теперь выражение имеет вид $\sqrt{\sqrt{5} + 6}$.
3. Попробуем представить выражение под внешним корнем в виде полного квадрата: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$.
4. Сравним $a + b = 6$ и $2\sqrt{ab} = \sqrt{5}$. Тогда $4ab = 5$, следовательно, $ab = \frac{5}{4}$.
5. Решим систему уравнений:
$a + b = 6$
$ab = \frac{5}{4}$
6. Выразим $b$ из первого уравнения: $b = 6 - a$.
7. Подставим во второе уравнение: $a(6 - a) = \frac{5}{4}$.
8. $6a - a^2 = \frac{5}{4}$.
9. $4(6a - a^2) = 5$.
10. $24a - 4a^2 = 5$.
11. $4a^2 - 24a + 5 = 0$.
12. Решим квадратное уравнение:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 576 - 80 = 496$.
$a_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{496}}{8} = \frac{24 \pm 4\sqrt{31}}{8} = \frac{6 \pm \sqrt{31}}{2}$.
13. Заметим, что такое решение не подходит, так как мы не можем упростить выражение $\sqrt{\sqrt{5} + 6}$ до простого вида.
14. Попробуем другой подход. Заметим, что $(\sqrt{5}+1)^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$.
15. Тогда $\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} = \sqrt{5} + 1$.
16. Исходное выражение $\sqrt{2\sqrt{5} + 6 - \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{5} + 6}$.
17. Заметим, что $(\sqrt{5} + 1)^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$.
18. Тогда $\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{5} + 1$.
19. Исходное выражение $\sqrt{6 + \sqrt{5}}$ не упрощается до $\sqrt{5} + 1$.
20. Заметим, что $(\sqrt{5}+1)^2 = 6 + 2\sqrt{5}$.
21. Попробуем представить $\sqrt{5} + 6$ как $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$.
22. Тогда $a + b = 6$ и $2\sqrt{ab} = \sqrt{5}$, следовательно, $4ab = 5$, $ab = \frac{5}{4}$.
23. $a + b = 6$, $ab = \frac{5}{4}$.
24. $a(6 - a) = \frac{5}{4}$.
25. $6a - a^2 = \frac{5}{4}$.
26. $24a - 4a^2 = 5$.
27. $4a^2 - 24a + 5 = 0$.
28. $a = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 80}}{8} = \frac{24 \pm \sqrt{496}}{8} = \frac{24 \pm 4\sqrt{31}}{8} = \frac{6 \pm \sqrt{31}}{2}$.
29. Это не упрощает выражение.
30. Заметим, что $(\sqrt{5} + 1)^2 = 6 + 2\sqrt{5}$.
31. $\sqrt{6 + \sqrt{5}}$ нельзя представить в виде $\sqrt{a} + \sqrt{b}$, где $a$ и $b$ рациональные числа.
32. Выражение $\sqrt{6 + \sqrt{5}}$ не упрощается до более простого вида.

Ответ: $\sqrt{6 + \sqrt{5}}$