Дано:
Остроугольный треугольник ABC, AH — высота, O — центр описанной окружности, $OH \perp AB$, $OH = \sqrt{2}$, $BC = 2\sqrt{3}$.
Найти: $\angle OAH$.

Решение:
1. Пусть M — середина стороны AB. Так как O — центр описанной окружности треугольника ABC, отрезок OM перпендикулярен хорде AB (свойство диаметра, перпендикулярного хорде).
2. По условию задачи, отрезок OH также перпендикулярен стороне AB.
3. Поскольку из точки O к прямой AB можно провести только один перпендикуляр, точки O, M и H лежат на одной прямой. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку AB.
4. Так как точка H лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, расстояния от нее до концов отрезка равны, то есть HA = HB.
5. Треугольник AHB является прямоугольным (так как AH — высота, $\angle AHB = 90^\circ$). Поскольку HA = HB, этот треугольник также является равнобедренным. Следовательно, острые углы этого треугольника равны $45^\circ$, то есть $\angle B = 45^\circ$.
6. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке H(0, 0). Пусть прямая BC совпадает с осью Ox, а высота AH лежит на оси Oy.
7. Обозначим длину высоты AH через h. Тогда координаты вершины A равны (0, h). Поскольку HA = HB = h, а точка B лежит левее начала координат, ее координаты равны (-h, 0).
8. Длина стороны BC равна $2\sqrt{3}$. Так как BC = BH + HC = h + HC, получаем, что HC = $2\sqrt{3} - h$. Следовательно, координаты вершины C равны ($2\sqrt{3} - h$, 0).
9. Найдем координаты центра описанной окружности O(x, y). Точка O лежит на серединном перпендикуляре к AB. Уравнение прямой AB, проходящей через точки B(-h, 0) и A(0, h), имеет вид y = x + h. Середина AB имеет координаты M(-h/2, h/2). Серединный перпендикуляр к AB проходит через M перпендикулярно AB, его уравнение: y - h/2 = -(x + h/2), откуда y = -x. Таким образом, для координат точки O выполняется соотношение y = -x.
10. Также точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC. Середина BC имеет абсциссу:
$$x_M = \frac{-h + 2\sqrt{3} - h}{2} = \sqrt{3} - h$$
Поскольку сторона BC лежит на оси Ox, серединный перпендикуляр к ней является вертикальной прямой $x = \sqrt{3} - h$.
11. Таким образом, координаты точки O равны:
$$O(\sqrt{3} - h, h - \sqrt{3})$$
12. Найдем длину отрезка OH. Так как H(0, 0), то:
$$OH^2 = (\sqrt{3} - h)^2 + (h - \sqrt{3})^2 = 2(h - \sqrt{3})^2$$
По условию задачи, $OH = \sqrt{2}$, следовательно, $OH^2 = 2$. Получаем уравнение:
$$2(h - \sqrt{3})^2 = 2$$
$$(h - \sqrt{3})^2 = 1$$
13. Это уравнение имеет два корня:
Первый корень: $h - \sqrt{3} = 1 \implies h = \sqrt{3} + 1$.
Второй корень: $h - \sqrt{3} = -1 \implies h = \sqrt{3} - 1$.
14. Проверим, при каком значении h треугольник ABC является остроугольным.
Если $h = \sqrt{3} - 1$, то в прямоугольном треугольнике AHC тангенс угла C равен:
$$\tan C = \frac{AH}{HC} = \frac{h}{2\sqrt{3} - h} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = 2 - \sqrt{3}$$
Это соответствует углу $C = 15^\circ$. Тогда угол $A = 180^\circ - 45^\circ - 15^\circ = 120^\circ$, то есть треугольник тупоугольный, что противоречит условию.
Если $h = \sqrt{3} + 1$, то:
$$\tan C = \frac{AH}{HC} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = 2 + \sqrt{3}$$
Это соответствует углу $C = 75^\circ$. Тогда угол $A = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$. Все три угла треугольника острые, условие выполняется.
Таким образом, $h = \sqrt{3} + 1$.
15. Запишем координаты точек A и O при найденном значении h:
$$A(0, \sqrt{3} + 1)$$
$$O(-1, 1)$$
16. Найдем векторы AH и AO:
$$\vec{AH} = (0, -(\sqrt{3} + 1))$$
$$\vec{AO} = (-1, -\sqrt{3})$$
17. Найдем косинус угла $\angle OAH$ (обозначим его за $\theta$) через скалярное произведение векторов:
$$\cos \theta = \frac{\vec{AH} \cdot \vec{AO}}{|\vec{AH}| \cdot |\vec{AO}|}$$
$$\vec{AH} \cdot \vec{AO} = 0 \cdot (-1) + (-(\sqrt{3} + 1)) \cdot (-\sqrt{3}) = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$$
$$|\vec{AH}| = \sqrt{3} + 1$$
$$|\vec{AO}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$$
$$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
18. Поскольку угол $\theta$ является углом треугольника, получаем $\theta = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$