Дано: Решить дифференциальное уравнение $y'' = \frac{x}{\ln x}$.
Решение:
1.  Введем замену $y' = z$, тогда $y'' = z'$. Получаем уравнение $z' = \frac{x}{\ln x}$.
2.  Интегрируем обе части уравнения по $x$:
$$z = \int \frac{x}{\ln x} dx + C_1$$
3.  Вычислим интеграл $\int \frac{x}{\ln x} dx$. Сделаем замену $t = \ln x$, тогда $x = e^t$ и $dx = e^t dt$.
$$\int \frac{x}{\ln x} dx = \int \frac{e^t}{t} e^t dt = \int \frac{e^{2t}}{t} dt$$
Этот интеграл не выражается через элементарные функции. Обозначим его как $Li(e^{2t})$, где $Li(x)$ - интегральный логарифм.
Тогда,
$$z = Li(e^{2t}) + C_1 = Li(e^{2 \ln x}) + C_1 = Li(x^2) + C_1$$
4.  Теперь, зная, что $z = y'$, имеем $y' = Li(x^2) + C_1$. Интегрируем еще раз по $x$:
$$y = \int (Li(x^2) + C_1) dx = \int Li(x^2) dx + \int C_1 dx = \int Li(x^2) dx + C_1 x + C_2$$
5.  Вычислим интеграл $\int Li(x^2) dx$. Используем интегрирование по частям:
$$u = Li(x^2), dv = dx$$
$$du = \frac{2x}{x^2 \ln(x^2)} dx = \frac{1}{x \ln x} dx, v = x$$
$$\int Li(x^2) dx = x Li(x^2) - \int \frac{1}{\ln x} dx = x Li(x^2) - Li(x) + C$$
6.  Подставляем полученный результат в выражение для $y$:
$$y = x Li(x^2) - Li(x) + C_1 x + C_2$$
Ответ: $y = x Li(x^2) - Li(x) + C_1 x + C_2$, где $Li(x)$ - интегральный логарифм, $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы.