Дано:
Решить дифференциальное уравнение $y'' - y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 5$ и $y'(0) = -5$.

Решение:
1.  Составим характеристическое уравнение:
$$k^2 - 1 = 0$$

2.  Найдем корни характеристического уравнения:
$$k^2 = 1$$
$$k_1 = 1, \quad k_2 = -1$$

3.  Запишем общее решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = C_1e^{x} + C_2e^{-x}$$

4.  Найдем первую производную $y'(x)$:
$$y'(x) = C_1e^{x} - C_2e^{-x}$$

5.  Используем начальные условия $y(0) = 5$ и $y'(0) = -5$ для определения констант $C_1$ и $C_2$.
    *   $y(0) = C_1e^{0} + C_2e^{-0} = C_1 + C_2 = 5$
    *   $y'(0) = C_1e^{0} - C_2e^{-0} = C_1 - C_2 = -5$

6.  Решим систему уравнений для $C_1$ и $C_2$:
    *   $C_1 + C_2 = 5$
    *   $C_1 - C_2 = -5$
    Сложим уравнения:
    $2C_1 = 0 \Rightarrow C_1 = 0$
    Подставим $C_1 = 0$ в первое уравнение:
    $0 + C_2 = 5 \Rightarrow C_2 = 5$

7.  Запишем частное решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = 0 \cdot e^{x} + 5 \cdot e^{-x} = 5e^{-x}$$

Ответ:
$y(x) = 5e^{-x}$