Дано:
Решить уравнение:
$$ \frac{5}{x-2} + 1 = \frac{14}{x^2 - 4x + 4} $$

Решение:
1.  Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
    Для первой дроби: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
    Для второй дроби: $x^2 - 4x + 4 \neq 0$. Заметим, что выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности: $(x-2)^2$.
    Следовательно, $(x-2)^2 \neq 0 \Rightarrow x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
    Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$.

2.  Перепишем исходное уравнение, заменив знаменатель правой части на его факторизованную форму:
    $$ \frac{5}{x-2} + 1 = \frac{14}{(x-2)^2} $$

3.  Приведем все члены уравнения к общему знаменателю, который равен $(x-2)^2$. Для этого умножим каждый член на соответствующий множитель.
    $$ \frac{5(x-2)}{(x-2)^2} + \frac{1 \cdot (x-2)^2}{(x-2)^2} = \frac{14}{(x-2)^2} $$

4.  Теперь, когда все члены имеют одинаковый знаменатель, мы можем приравнять числители, учитывая ОДЗ $x \neq 2$:
    $$ 5(x-2) + (x-2)^2 = 14 $$

5.  Раскроем скобки и упростим уравнение:
    $$ 5x - 10 + (x^2 - 4x + 4) = 14 $$
    $$ 5x - 10 + x^2 - 4x + 4 = 14 $$

6.  Приведем подобные члены и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
    $$ x^2 + (5x - 4x) + (-10 + 4) = 14 $$
    $$ x^2 + x - 6 = 14 $$
    $$ x^2 + x - 6 - 14 = 0 $$
    $$ x^2 + x - 20 = 0 $$

7.  Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или метод Виета.
    По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -20$.
    Подходящие числа: 5 и -4.
    Проверим: $5 + (-4) = 1$ (не -1, значит, это не корни, а множители).
    Корни будут $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.
    Проверим: $(-5) + 4 = -1$ (верно).
    $(-5) \cdot 4 = -20$ (верно).
    Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.

8.  Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ.
    Оба корня, $x = -5$ и $x = 4$, не равны 2, поэтому они являются допустимыми решениями.

9.  Выполним проверку, подставив найденные значения $x$ в исходное уравнение.

    Проверка для $x = -5$:
    Левая часть:
    $$ \frac{5}{-5-2} + 1 = \frac{5}{-7} + 1 = -\frac{5}{7} + \frac{7}{7} = \frac{2}{7} $$
    Правая часть:
    $$ \frac{14}{(-5)^2 - 4(-5) + 4} = \frac{14}{25 + 20 + 4} = \frac{14}{49} = \frac{2}{7} $$
    Левая часть равна правой части, значит, $x = -5$ является верным решением.

    Проверка для $x = 4$:
    Левая часть:
    $$ \frac{5}{4-2} + 1 = \frac{5}{2} + 1 = 2.5 + 1 = 3.5 $$
    Правая часть:
    $$ \frac{14}{4^2 - 4(4) + 4} = \frac{14}{16 - 16 + 4} = \frac{14}{4} = 3.5 $$
    Левая часть равна правой части, значит, $x = 4$ является верным решением.

Ответ:
$x_1 = -5$, $x_2 = 4$.