Дано: Вариант 2.

1) Радиус основания цилиндра равен 6, высота равна 1. Найти площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на $\pi$.
2) Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.
3) Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 9. Найти высоту цилиндра.
4) Площадь боковой поверхности цилиндра равна $15\pi$, а диаметр основания равен 5. Найти высоту цилиндра.
5) Площадь боковой поверхности цилиндра равна $12\pi$, а высота равна 2. Найти диаметр основания.
6) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Площадь боковой поверхности призмы равна 144. Найти высоту цилиндра.
7) Площадь осевого сечения цилиндра равна 9. Найти площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на $\pi$.
8) Радиус цилиндра 10 см. Сечение, параллельное оси цилиндра и удаленное от нее на 8 см, имеет форму квадрата. Найти площадь сечения.
9) Радиус основания цилиндра равен 4, образующая равна 6. Найти диагональ осевого сечения цилиндра.
10) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм и составляет с образующей цилиндра угол $60^\circ$. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

1.  Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2\pi r h$, где $r$ - радиус основания, $h$ - высота.
    $S_{бок} = 2\pi \cdot 6 \cdot 1 = 12\pi$.
    Площадь боковой поверхности, деленная на $\pi$, равна $\frac{12\pi}{\pi} = 12$.

2.  Длина окружности основания цилиндра равна $C = 2\pi r$. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = C \cdot h$, где $C$ - длина окружности основания, $h$ - высота.
    $S_{бок} = 3 \cdot 2 = 6$.

3.  $S_{бок} = C \cdot h$, следовательно, $h = \frac{S_{бок}}{C} = \frac{9}{3} = 3$.

4.  $S_{бок} = 2\pi r h = \pi d h$, где $d$ - диаметр основания.
    $h = \frac{S_{бок}}{\pi d} = \frac{15\pi}{\pi \cdot 5} = 3$.

5.  $S_{бок} = 2\pi r h = \pi d h$, следовательно, $d = \frac{S_{бок}}{\pi h} = \frac{12\pi}{\pi \cdot 2} = 6$.

6.  Пусть сторона основания призмы равна $a$. Так как призма описана около цилиндра, то радиус цилиндра равен радиусу вписанной в квадрат окружности, то есть $r = \frac{a}{2}$. Тогда $a = 2r = 2 \cdot 3 = 6$.
    Площадь боковой поверхности призмы равна $S_{бок} = P \cdot h$, где $P$ - периметр основания, $h$ - высота.
    $P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$.
    $h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{144}{24} = 6$.

7.  Площадь осевого сечения цилиндра равна $S_{ос} = 2rh$, где $r$ - радиус основания, $h$ - высота.
    $2rh = 9$.
    Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2\pi r h = \pi \cdot 2rh = \pi \cdot 9 = 9\pi$.
    Площадь боковой поверхности, деленная на $\pi$, равна $\frac{9\pi}{\pi} = 9$.

8.  Сечение, параллельное оси цилиндра и удаленное от нее на 8 см, является прямоугольником. Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, то есть 10 см. Вторая сторона равна $2\sqrt{R^2 - d^2}$, где $R$ - радиус цилиндра, $d$ - расстояние от оси цилиндра до сечения.
    $2\sqrt{10^2 - 8^2} = 2\sqrt{100 - 64} = 2\sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$ см.
    Площадь сечения равна $10 \cdot 12 = 120$ см².

9.  Осевое сечение цилиндра - прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$, где $r$ - радиус основания, $h$ - образующая. Диагональ осевого сечения равна $d = \sqrt{(2r)^2 + h^2}$.
    $d = \sqrt{(2 \cdot 4)^2 + 6^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

10. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм и составляет с образующей цилиндра угол $60^\circ$. Обозначим образующую за $h$, а радиус основания за $r$. Тогда $h = 8 \cdot \cos{60^\circ} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ дм. $2r = 8 \cdot \sin{60^\circ} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ дм, следовательно, $r = 2\sqrt{3}$ дм.
    Площадь полной поверхности цилиндра равна $S_{полн} = 2\pi r (r + h) = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} (2\sqrt{3} + 4) = 4\pi\sqrt{3} (2\sqrt{3} + 4) = 4\pi (6 + 4\sqrt{3}) = (24\pi + 16\pi\sqrt{3})$ дм².

Ответ:
1. 12
2. 6
3. 3
4. 3
5. 6
6. 6
7. 9
8. 120 см²
9. 10
10. $(24\pi + 16\pi\sqrt{3})$ дм²