Дано:
1. Электрическая цепь с элементами A, B₁, B₂, C, D. Вероятности работы элементов: P(A) = 0.8, P(B₁) = 0.6, P(B₂) = 0.5, P(C) = 0.7, P(D) = 0.9. Найти вероятность разрыва цепи.
2. Вероятность недоварить кашу p₁ = 0.6. Вероятность пересолить кашу p₂ = 0.5. Найти вероятность, что каша непригодна к еде.
3. Имеется 10 деталей: 4 первого вида, 2 второго, 2 третьего и 2 четвертого видов. Найти вероятность, что среди 6 взятых деталей окажутся 3 первого вида, 2 второго и 1 третьего.
4. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r и длиной окружности C. Найти вероятность того, что точка, наудачу выбранная в большом круге, попадет также и в малый круг.

Решение:
1. Вероятность разрыва цепи.
Цепь будет разорвана, если не работает элемент A ИЛИ не работает блок с B₁ и B₂ ИЛИ не работают элементы C И D.
Вероятность, что элемент не работает, равна 1 - вероятность, что элемент работает.
P(A не работает) = 1 - 0.8 = 0.2
P(C не работает) = 1 - 0.7 = 0.3
P(D не работает) = 1 - 0.9 = 0.1
Блок с B₁ и B₂ работает, если работают оба элемента B₁ И B₂ в верхней ветви ИЛИ работают оба элемента B₁ И B₂ в нижней ветви.
P(B₁ и B₂ работают в верхней ветви) = 0.6 * 0.6 = 0.36
P(B₁ и B₂ работают в нижней ветви) = 0.5 * 0.5 = 0.25
P(блок B работает) = 0.36 + 0.25 - 0.36 * 0.25 = 0.36 + 0.25 - 0.09 = 0.52
P(блок B не работает) = 1 - 0.52 = 0.48
P(цепь разорвана) = P(A не работает) + P(блок B не работает) + P(C не работает И D не работает) - P(A не работает) * P(блок B не работает) - P(A не работает) * P(C не работает И D не работает) - P(блок B не работает) * P(C не работает И D не работает) + P(A не работает) * P(блок B не работает) * P(C не работает И D не работает)
P(C не работает И D не работает) = 0.3 * 0.1 = 0.03
P(цепь разорвана) = 0.2 + 0.48 + 0.03 - 0.2 * 0.48 - 0.2 * 0.03 - 0.48 * 0.03 + 0.2 * 0.48 * 0.03 = 0.71 - 0.096 - 0.006 - 0.0144 + 0.00288 = 0.71 - 0.1164 + 0.00288 = 0.59648

2. Вероятность, что каша непригодна к еде.
Каша непригодна, если ее не доварили ИЛИ пересолили.
P(непригодна) = P(не доварили) + P(пересолили) - P(не доварили) * P(пересолили)
P(непригодна) = 0.6 + 0.5 - 0.6 * 0.5 = 1.1 - 0.3 = 0.8

3. Вероятность, что среди 6 взятых деталей окажутся 3 первого вида, 2 второго и 1 третьего.
Общее количество способов выбрать 6 деталей из 10: $C_{10}^6 = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$
Количество способов выбрать 3 детали первого вида из 4: $C_4^3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$
Количество способов выбрать 2 детали второго вида из 2: $C_2^2 = \frac{2!}{2!0!} = 1$
Количество способов выбрать 1 деталь третьего вида из 2: $C_2^1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$
Количество способов выбрать 3 детали первого вида, 2 второго и 1 третьего: $C_4^3 \cdot C_2^2 \cdot C_2^1 = 4 \cdot 1 \cdot 2 = 8$
Вероятность: $P = \frac{8}{210} = \frac{4}{105}$

4. Вероятность того, что точка, наудачу выбранная в большом круге, попадет также и в малый круг.
Площадь большого круга: $S_R = \pi R^2$
Длина окружности малого круга: $C = 2 \pi r$. Отсюда радиус малого круга: $r = \frac{C}{2 \pi}$
Площадь малого круга: $S_r = \pi r^2 = \pi (\frac{C}{2 \pi})^2 = \frac{C^2}{4 \pi}$
Вероятность попадания в малый круг: $P = \frac{S_r}{S_R} = \frac{C^2}{4 \pi} / (\pi R^2) = \frac{C^2}{4 \pi^2 R^2} = (\frac{C}{2 \pi R})^2$

Ответ:
1.  0.59648
2.  0.8
3.  $\frac{4}{105}$
4.  $(\frac{C}{2 \pi R})^2$