Дано:
Решить задания из варианта 3:
Задача № 1. Исследовать на сходимость числовые ряды с положительными членами:
а) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2 - 5}{4n^3(2n-3)}$
б) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{3^n}$
в) $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3n^2 - n - 1}{7n^2 + 3n + 4}\right)^n$

Задача № 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовой ряд:
$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{5^{2n-1}}{n!}$$

Задача № 3. Найти область сходимости функционального ряда:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+3)^{2n}}{2n+1}$$

Задача № 4. Разложить в ряд Тейлора функцию $f(x) = \frac{1}{x+3}$ по степеням $(x+1)$ и найти его область сходимости.

Решение:

Задача № 1

1. Исследуем ряд а):
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2 - 5}{4n^3(2n-3)}$$
Для исследования сходимости применим предельный признак сравнения. Сравним данный ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$
Найдем предел отношения общих членов рядов при $n \to \infty$:
$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{3n^2 - 5}{4n^3(2n-3)} : \frac{1}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{(3n^2 - 5)n^2}{8n^4 - 12n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^4 - 5n^2}{8n^4 - 12n^3} = \frac{3}{8}$$
Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то оба ряда ведут себя одинаково. Поскольку эталонный ряд сходится, то и исходный ряд сходится.

2. Исследуем ряд б):
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{3^n}$$
Применим признак Даламбера. Запишем общий член ряда и следующий за ним член:
$$a_n = \frac{n(n+1)}{3^n}$$
$$a_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)}{3^{n+1}}$$
Найдем предел отношения:
$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n+1)(n+2)}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n(n+1)} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{3n} = \frac{1}{3}$$
Так как L = 1/3 < 1, то по признаку Даламбера ряд сходится.

3. Исследуем ряд в):
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3n^2 - n - 1}{7n^2 + 3n + 4}\right)^n$$
Применим радикальный признак Коши. Найдем предел:
$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 - n - 1}{7n^2 + 3n + 4} = \frac{3}{7}$$
Так как L = 3/7 < 1, то по радикальному признаку Коши ряд сходится.

Задача № 2

1. Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{2n-1}}{n!}$$
2. Применим к полученному ряду с положительными членами признак Даламбера. Запишем члены ряда:
$$u_n = \frac{5^{2n-1}}{n!}$$
$$u_{n+1} = \frac{5^{2n+1}}{(n+1)!}$$
3. Вычислим предел отношения:
$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5^{2n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{5^{2n-1}} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{5^2}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{25}{n+1} = 0$$
Так как L = 0 < 1, то ряд из абсолютных величин сходится. Следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Задача № 3

1. Сделаем замену переменной t = (x+3)², где t >= 0. Тогда ряд примет вид степенного ряда:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{2n+1}$$
2. Найдем радиус сходимости полученного степенного ряда по формуле для коэффициентов $a_n = \frac{1}{2n+1}$:
$$R_t = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{2n+1} = 1$$
Таким образом, ряд сходится при t <?> 1.
3. Вернемся к исходной переменной:
(x+3)² < 1
|x+3| < 1
-1 < x+3 < 1
-4 < x < -2
4. Исследуем сходимость на концах полученного интервала:
При x = -2 и при x = -4 значение (x+3)² = 1. Подставим это значение в исходный ряд:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+1}$$
Сравним этот ряд с расходящимся гармоническим рядом с помощью предельного признака сравнения:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1/(2n+1)}{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}$$
Так как предел конечен и отличен от нуля, а гармонический ряд расходится, то исследуемый ряд также расходится в граничных точках.
Следовательно, областью сходимости функционального ряда является интервал (-4, -2).

Задача № 4

1. Сделаем замену переменной u = x+1, откуда x = u - 1. Преобразуем функцию:
$$f(x) = \frac{1}{(u-1)+3} = \frac{1}{u+2} = \frac{1}{2(1 + u/2)}$$
2. Используем табличное разложение для геометрической прогрессии:
$$\frac{1}{1 - q} = \sum_{n=0}^{\infty} q^n$$
В нашем случае q = -u/2. Разложение имеет вид:
$$f(x) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{u}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{u^n}{2^{n+1}}$$
3. Возвращаясь к переменной x, получаем разложение в ряд Тейлора по степеням (x+1):
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(x+1)^n}{2^{n+1}}$$
4. Найдем область сходимости полученного ряда. Ряд сходится, когда знаменатель геометрической прогрессии по модулю меньше 1:
|q| < 1
|-u/2| < 1
|u| < 2
Подставим u = x+1:
|x+1| < 2
-2 < x+1 < 2
-3 < x < 1
На концах интервала геометрический ряд всегда расходится. Таким образом, область сходимости ряда: (-3, 1).

Ответ:
Задача № 1:
а) ряд сходится;
б) ряд сходится;
в) ряд сходится.

Задача № 2:
ряд сходится абсолютно.

Задача № 3:
область сходимости: (-4, -2).

Задача № 4:
разложение в ряд Тейлора:
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(x+1)^n}{2^{n+1}}$$
область сходимости: (-3, 1).