Дано:
Масса добавленной воды $m_в = 50$ г
Уменьшение массы льда $m_л = 15,2$ г
Удельная теплота плавления льда $\lambda = 330$ кДж/кг
Удельная теплоемкость воды $c_в = 4200$ Дж/(кг·°C)
Абсолютная погрешность измерения массы льда $\Delta m_л = 0,2$ г
Относительная погрешность измерения массы воды $\epsilon_{m_в} = 1\%$
Остальные величины известны точно.

Решение:
Для решения задачи переведем все величины в систему СИ.
$m_в = 50$ г $= 0,050$ кг
$m_л = 15,2$ г $= 0,0152$ кг
$\lambda = 330$ кДж/кг $= 330 \times 10^3$ Дж/кг
$\Delta m_л = 0,2$ г $= 0,0002$ кг

1. Какое количество теплоты было затрачено на плавление льда?
Количество теплоты, затраченное на плавление льда, рассчитывается по формуле:
$Q_{плавления} = m_л \lambda$
Подставляем известные значения:
$Q_{плавления} = 0,0152 \text{ кг} \times 330 \times 10^3 \text{ Дж/кг}$
$Q_{плавления} = 15,2 \times 330 \text{ Дж}$
$Q_{плавления} = 5016$ Дж

2. Какова была начальная температура $t$ долитой воды?
По условию, после установления теплового равновесия лёд в сосуде остаётся, но его масса уменьшается. Это означает, что теплота, отданная долитой водой при охлаждении от начальной температуры $t$ до температуры плавления льда (0°C), пошла на плавление части льда.
Количество теплоты, отданное водой:
$Q_{отданное\_водой} = m_в c_в (t - 0^\circ\text{C})$
$Q_{отданное\_водой} = m_в c_в t$
Это количество теплоты равно количеству теплоты, затраченному на плавление льда:
$Q_{отданное\_водой} = Q_{плавления}$
$m_в c_в t = Q_{плавления}$
Выразим начальную температуру $t$:
$t = \frac{Q_{плавления}}{m_в c_в}$
Подставляем значения:
$t = \frac{5016 \text{ Дж}}{0,050 \text{ кг} \times 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot ^\circ\text{C})}$
$t = \frac{5016}{210} ^\circ\text{C}$
$t \approx 23,89$ °C

3. Каков диапазон возможной начальной температуры долитой воды, если абсолютная погрешность измерения массы льда составляет $\Delta m_л = 0,2$ г, а масса воды измерялась с точностью $\epsilon_{m_в} = 1\%$ (т. е. могла быть на 1 % как больше, так и меньше указанного значения)? Остальные величины известны точно.

Сначала определим погрешности для массы льда и массы воды.
Масса льда $m_л = 15,2$ г. Абсолютная погрешность $\Delta m_л = 0,2$ г.
Таким образом, реальная масса льда находится в диапазоне:
$m_{л, мин} = m_л - \Delta m_л = 15,2 \text{ г} - 0,2 \text{ г} = 15,0$ г $= 0,0150$ кг
$m_{л, макс} = m_л + \Delta m_л = 15,2 \text{ г} + 0,2 \text{ г} = 15,4$ г $= 0,0154$ кг

Масса воды $m_в = 50$ г. Относительная погрешность $\epsilon_{m_в} = 1\%$.
Абсолютная погрешность массы воды:
$\Delta m_в = \epsilon_{m_в} \times m_в = 0,01 \times 50 \text{ г} = 0,5$ г $= 0,0005$ кг
Таким образом, реальная масса воды находится в диапазоне:
$m_{в, мин} = m_в - \Delta m_в = 50 \text{ г} - 0,5 \text{ г} = 49,5$ г $= 0,0495$ кг
$m_{в, макс} = m_в + \Delta m_в = 50 \text{ г} + 0,5 \text{ г} = 50,5$ г $= 0,0505$ кг

Температура долитой воды $t$ определяется формулой: $t = \frac{m_л \lambda}{m_в c_в}$.
Чтобы найти диапазон возможных значений $t$, нам нужно рассчитать $t$ для крайних значений масс $m_л$ и $m_в$.
Для определения диапазона температуры, мы должны рассмотреть случаи, когда $t$ будет минимальной и максимальной.
$t$ будет минимальной, когда числитель ($m_л \lambda$) минимален, а знаменатель ($m_в c_в$) максимален.
$t$ будет максимальной, когда числитель ($m_л \lambda$) максимален, а знаменатель ($m_в c_в$) минимален.

Минимальная температура долитой воды ($t_{мин}$):
Используем минимальную массу льда и максимальную массу воды.
$m_{л, мин} = 0,0150$ кг
$m_{в, макс} = 0,0505$ кг
$t_{мин} = \frac{m_{л, мин} \lambda}{m_{в, макс} c_в}$
$t_{мин} = \frac{0,0150 \text{ кг} \times 330 \times 10^3 \text{ Дж/кг}}{0,0505 \text{ кг} \times 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot ^\circ\text{C})}$
$t_{мин} = \frac{4950}{212,1} ^\circ\text{C}$
$t_{мин} \approx 23,34$ °C

Максимальная температура долитой воды ($t_{макс}$):
Используем максимальную массу льда и минимальную массу воды.
$m_{л, макс} = 0,0154$ кг
$m_{в, мин} = 0,0495$ кг
$t_{макс} = \frac{m_{л, макс} \lambda}{m_{в, мин} c_в}$
$t_{макс} = \frac{0,0154 \text{ кг} \times 330 \times 10^3 \text{ Дж/кг}}{0,0495 \text{ кг} \times 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot ^\circ\text{C})}$
$t_{макс} = \frac{5082}{207,9} ^\circ\text{C}$
$t_{макс} \approx 24,44$ °C

Таким образом, диапазон возможной начальной температуры долитой воды составляет от приблизительно 23,34 °C до приблизительно 24,44 °C.

Ответ:
1. Количество теплоты, затраченное на плавление льда, составляет $Q_{плавления} = 5016$ Дж.
2. Начальная температура долитой воды была $t \approx 23,89$ °C.
3. Диапазон возможной начальной температуры долитой воды составляет от $23,34$ °C до $24,44$ °C.