Дано: Окружность, касательная к сторонам $AB$, $BD$ и $DE$ в точках $A$, $C$ и $E$ соответственно. $AB = 44.8$ см, $\angle B = 60^\circ$, $\angle D = 60^\circ$.
Найти: Периметр треугольника $ACE$.

Решение:
1.  По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных, проведенных из точки $B$, равны: $BA = BC$. Аналогично, $DC = DE$.
2.  Так как $AB = 44.8$ см, то $BC = 44.8$ см.
3.  Рассмотрим треугольник $BDE$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle E = 180^\circ - \angle B - \angle D = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Значит, треугольник $BDE$ - равносторонний.
4.  Следовательно, $BD = DE = BE$.
5.  Так как $BD = BC + CD$ и $BE = BA + AE$, то $BC + CD = BA + AE$.
6.  По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, $AE = DE$ и $CD = CE$.
7.  Тогда $BC + CE = BA + AE$.
8.  Так как $BA = BC$, то $CE = AE$.
9.  Треугольник $ACE$ - равнобедренный.
10. Периметр треугольника $BDE$ равен $3 \cdot AB$, так как $AB = BD = DE$.
11. $P_{BDE} = BD + DE + BE = 3 \cdot 44.8 = 134.4$ см.
12. $BD = DE = BE = 44.8$ см.
13. $P_{ACE} = AC + CE + AE$.
14. Рассмотрим треугольник $ABC$. Он равнобедренный, так как $BA = BC$. $\angle B = 60^\circ$, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Значит, треугольник $ABC$ - равносторонний.
15. $AC = AB = BC = 44.8$ см.
16. Рассмотрим треугольник $CDE$. Он равнобедренный, так как $DC = DE$. $\angle D = 60^\circ$, следовательно, $\angle DCE = \angle DEC = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Значит, треугольник $CDE$ - равносторонний.
17. $CE = CD = DE = 44.8$ см.
18. $AE = DE = 44.8$ см.
19. $P_{ACE} = AC + CE + AE = 44.8 + 44.8 + 44.8 = 3 \cdot 44.8 = 134.4$ см.

Ответ: $P_{ACE} = 44.8$ см.

Решение 2:
1. Пусть $AB = BD = DE = x = 44.8$ см.
2. $P_{BDE} = 3x$.
3. $AE = AC = CE$.
4. $P_{ACE} = AE + AC + CE = 3AE$.
5. $P_{ACE} = \frac{1}{2} P_{BDE} = \frac{1}{2} \cdot 3x = \frac{3}{2}x$.
6. $P_{ACE} = \frac{3}{2} \cdot 44.8 = 3 \cdot 22.4 = 67.2$ см.

Ответ: $P_{ACE} = 67.2$ см.