2.
Дано:
Первый каменщик выполняет задание за 9 дней.
Второй каменщик выполняет задание за 12 дней.
Первый каменщик работал 6 дней.

Решение:
1. Найдем, какую часть работы выполняет первый каменщик за 1 день: $\frac{1}{9}$.
2. Найдем, какую часть работы выполнил первый каменщик за 6 дней: $6 \cdot \frac{1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
3. Найдем, какая часть работы осталась невыполненной: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
4. Найдем, какую часть работы выполняет второй каменщик за 1 день: $\frac{1}{12}$.
5. Найдем, сколько дней потребуется второму каменщику, чтобы выполнить оставшуюся часть работы: $\frac{1}{3} : \frac{1}{12} = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ дня.
6. Найдем общее время выполнения задания: $6 + 4 = 10$ дней.

Ответ: Задание было выполнено за 10 дней.

3.
Дано:
Два рабочих одинаковой квалификации выполняют заказ за 8 часов.
Один рабочий работал 2 часа, затем к нему присоединился второй рабочий.

Решение:
1. Найдем, какую часть работы выполняет один рабочий за 1 час: $\frac{1}{8}$.
2. Найдем, какую часть работы выполнил один рабочий за 2 часа: $2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
3. Найдем, какая часть работы осталась невыполненной: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
4. Найдем, какую часть работы выполняют два рабочих за 1 час: $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
5. Найдем, сколько времени потребуется двум рабочим, чтобы выполнить оставшуюся часть работы: $\frac{3}{4} : \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$ часа.
6. Найдем общее время выполнения задания: $2 + 3 = 5$ часов.

Ответ: Весь заказ был выполнен за 5 часов.

4.
Дано:
Первая машинистка может выполнить работу за 10 часов.
Вторая машинистка может выполнить работу за 15 часов.
После 4 часов совместной работы первая машинистка ушла.

Решение:
1. Найдем, какую часть работы выполняет первая машинистка за 1 час: $\frac{1}{10}$.
2. Найдем, какую часть работы выполняет вторая машинистка за 1 час: $\frac{1}{15}$.
3. Найдем, какую часть работы выполняют обе машинистки за 1 час: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
4. Найдем, какую часть работы выполнили обе машинистки за 4 часа: $4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
5. Найдем, какая часть работы осталась невыполненной: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
6. Найдем, сколько времени потребуется второй машинистке, чтобы выполнить оставшуюся часть работы: $\frac{1}{3} : \frac{1}{15} = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$ часов.
7. Найдем общее время выполнения задания: $4 + 5 = 9$ часов.

Ответ: Весь заказ был выполнен за 9 часов.

5.
Дано:
Первая волшебница может ухаживать за садом за 24 дня.
Вторая волшебница работает в 3 раза быстрее первой.
Третья волшебница работает в 2 раза медленнее второй.
Первая волшебница работала 3 дня одна.
Вторая волшебница присоединилась через 2 дня.
Нужно узнать, справятся ли они за 5 дней совместной работы.

Решение:
1. Найдем, какую часть работы выполняет первая волшебница за 1 день: $\frac{1}{24}$.
2. Найдем, какую часть работы выполняет вторая волшебница за 1 день: $\frac{1}{24} \cdot 3 = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$.
3. Найдем, какую часть работы выполняет третья волшебница за 1 день: $\frac{1}{8} : 2 = \frac{1}{16}$.
4. Первая волшебница работала 3 дня, значит, она выполнила $3 \cdot \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ часть работы.
5. Затем первая и вторая волшебницы работали 2 дня, значит, они выполнили $2 \cdot (\frac{1}{24} + \frac{1}{8}) = 2 \cdot (\frac{1}{24} + \frac{3}{24}) = 2 \cdot \frac{4}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ часть работы.
6. Оставшиеся 5 дней работают все три волшебницы. Они выполняют за 1 день $\frac{1}{24} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2}{48} + \frac{6}{48} + \frac{3}{48} = \frac{11}{48}$ часть работы.
7. За 5 дней они выполнят $5 \cdot \frac{11}{48} = \frac{55}{48}$ часть работы.
8. Общая часть работы, выполненная всеми волшебницами: $\frac{1}{8} + \frac{1}{3} + \frac{55}{48} = \frac{6}{48} + \frac{16}{48} + \frac{55}{48} = \frac{77}{48} > 1$.

Ответ: Да, они справятся с работой за 5 дней.

6.
Дано:
Холодная вода заполняет ванну за 6 минут 40 секунд = 400 секунд.
Горячая вода заполняет ванну за 8 минут = 480 секунд.
Вода вытекает из полной ванны за 13 минут 20 секунд = 800 секунд.

Решение:
1. Найдем, какую часть ванны заполняет холодная вода за 1 секунду: $\frac{1}{400}$.
2. Найдем, какую часть ванны заполняет горячая вода за 1 секунду: $\frac{1}{480}$.
3. Найдем, какая часть ванны вытекает за 1 секунду: $\frac{1}{800}$.
4. Найдем, какая часть ванны заполняется за 1 секунду при открытых обоих кранах и открытой пробке: $\frac{1}{400} + \frac{1}{480} - \frac{1}{800} = \frac{6}{2400} + \frac{5}{2400} - \frac{3}{2400} = \frac{8}{2400} = \frac{1}{300}$.
5. Найдем, за сколько секунд заполнится ванна: $1 : \frac{1}{300} = 300$ секунд = 5 минут.

Ответ: Ванна заполнится за 5 минут.

7.
Дано:
Горячий кран заполняет ванну за 23 минуты.
Холодный кран заполняет ванну за 17 минут.
К моменту открытия холодного крана горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной.

Решение:
Пусть $t$ - время, через которое Маша открыла холодный кран.
За время $t$ горячий кран наполнил $\frac{t}{23}$ часть ванны.
За время $t$ холодный кран наполнил 0 часть ванны.
После открытия холодного крана оба крана работали некоторое время $x$.
Горячий кран наполнил $\frac{x}{23}$ часть ванны.
Холодный кран наполнил $\frac{x}{17}$ часть ванны.
Вся ванна заполнена: $\frac{t}{23} + \frac{x}{23} + \frac{x}{17} = 1$.
Горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной: $\frac{t}{23} + \frac{x}{23} = 1.5 \cdot \frac{x}{17}$.
Выразим $t$ из второго уравнения: $\frac{t}{23} = \frac{3}{2} \cdot \frac{x}{17} - \frac{x}{23} = \frac{69x - 34x}{2 \cdot 17 \cdot 23} = \frac{35x}{2 \cdot 17 \cdot 23}$.
$t = \frac{35x}{34}$.
Подставим $t$ в первое уравнение: $\frac{35x}{34 \cdot 23} + \frac{x}{23} + \frac{x}{17} = 1$.
$\frac{35x + 34x + 46x}{34 \cdot 23} = 1$.
$115x = 34 \cdot 23$.
$x = \frac{34 \cdot 23}{115} = \frac{34 \cdot 23}{5 \cdot 23} = \frac{34}{5} = 6.8$.
$t = \frac{35 \cdot 6.8}{34} = \frac{35 \cdot 2 \cdot 3.4}{34} = 7$.

Ответ: Маша должна открыть холодный кран через 7 минут.

8.
Дано:
Петя склеивает 2 куска за 1 минуту.
Весь пазл склеен за 2 часа = 120 минут.

Решение:
1. Найдем, сколько всего кусков в пазле: $120 \cdot 2 + 1 = 241$ кусок.
2. Если бы Петя склеивал 3 куска за 1 минуту, то за 1 минуту количество кусков уменьшалось бы на 2.
3. Пусть $x$ - время, за которое Петя склеит пазл, склеивая по 3 куска за минуту.
4. $241 - 2x = 1$.
5. $2x = 240$.
6. $x = 120$ минут = 2 часа.

Ответ: Картина собралась бы за 2 часа.

9.
Дано:
Трое рабочих копают яму по очереди.
Каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы.

Решение:
Пусть $x, y, z$ - время, за которое каждый из рабочих выкопает яму в одиночку.
Первый рабочий копает время $t_1$, второй - $t_2$, третий - $t_3$.
$t_1 = \frac{1}{2} (\frac{1}{y} + \frac{1}{z})$.
$t_2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{z})$.
$t_3 = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$.
$\frac{t_1}{x} + \frac{t_2}{y} + \frac{t_3}{z} = 1$.
$\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{z}) + \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$.
$\frac{1}{2} (\frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}) = 1$.
$\frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz} = 1$.
Если бы они работали одновременно, то за время $t$ они бы выкопали яму:
$t (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = 1$.
$t = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}$.
Нужно найти, во сколько раз быстрее они выкопают яму, работая одновременно.
Время, когда они работают по очереди: $t_1 + t_2 + t_3 = \frac{1}{2} (\frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{z}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$.
Отношение времен: $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}{\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}} = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^2$.

Ответ:

10.
Дано:
Длина сосиски 12 м = 1200 см.
Первая такса съедает 9 см/с.
Вторая такса съедает 6 см/с.

Решение:
1. Найдем, сколько см сосиски съедают обе таксы за 1 секунду: $9 + 6 = 15$ см/с.
2. Найдем, сколько см сосиски останется через 1 минуту = 60 секунд: $1200 - 15 \cdot 60 = 1200 - 900 = 300$ см = 3 м.
3. Найдем, за какое время таксы съедят всю сосиску: $1200 : 15 = 80$ секунд.
4. Найдем, сколько см сосиски съест первая такса: $9 \cdot 80 = 720$ см = 7.2 м.
5. Найдем, сколько см сосиски съест вторая такса: $6 \cdot 80 = 480$ см = 4.8 м.

Ответ: Через минуту останется 3 метра сосиски. Таксы съедят всю сосиску за 80 секунд. Первая такса съест 7.2 метра, вторая - 4.8 метра.

11.
Дано:
Аня и Настя могут вымыть окно за 12 минут.
Настя и Маша могут вымыть окно за 15 минут.
Аня и Маша могут вымыть окно за 20 минут.

Решение:
Пусть $a, n, m$ - скорость работы Ани, Насти и Маши соответственно.
$a + n = \frac{1}{12}$.
$n + m = \frac{1}{15}$.
$a + m = \frac{1}{20}$.
Сложим все уравнения: $2(a + n + m) = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$.
$a + n + m = \frac{1}{10}$.
Время, за которое девочки вымоют окно, работая втроем: $1 : \frac{1}{10} = 10$ минут.

Ответ: Девочки вымоют окно, работая втроем, за 10 минут.

12.
Дано:
Расстояние между городами А и В равно 3