Дано: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 1$, $x = e$, $y = \frac{1}{x}$.
Решение:
1. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x = a$ и $x = b$, вычисляется по формуле:
$$S = \int_a^b |f(x)| dx$$
2. В нашем случае $f(x) = \frac{1}{x}$, $a = 1$, $b = e$. Так как $\frac{1}{x} > 0$ на интервале $[1, e]$, то $|f(x)| = f(x)$.
3. Вычисляем интеграл:
$$S = \int_1^e \frac{1}{x} dx$$
4. Первообразная функции $\frac{1}{x}$ есть $\ln|x|$.
5. Подставляем пределы интегрирования:
$$S = \ln|x| \Big|_1^e = \ln|e| - \ln|1| = \ln(e) - \ln(1)$$
6. Так как $\ln(e) = 1$ и $\ln(1) = 0$, то:
$$S = 1 - 0 = 1$$
Ответ: $S = 1$