Дано: Решить дифференциальное уравнение $xy'' - 2y' = 4x^3$.
Решение:
1. Сделаем замену $y' = p(x)$, тогда $y'' = p'(x)$.
2. Подставим замену в уравнение: $xp' - 2p = 4x^3$.
3. Разделим обе части уравнения на $x$: $p' - \frac{2}{x}p = 4x^2$.
4. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Найдем интегрирующий фактор $\mu(x) = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2\ln|x|} = e^{\ln(x^{-2})} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
5. Умножим обе части уравнения на интегрирующий фактор: $\frac{1}{x^2}p' - \frac{2}{x^3}p = 4$.
6. Левая часть уравнения является производной произведения $\frac{1}{x^2}p$: $(\frac{1}{x^2}p)' = 4$.
7. Проинтегрируем обе части уравнения по $x$: $\int (\frac{1}{x^2}p)' dx = \int 4 dx$.
8. Получаем: $\frac{1}{x^2}p = 4x + C_1$, где $C_1$ - константа интегрирования.
9. Выразим $p$: $p = 4x^3 + C_1x^2$.
10. Вспомним, что $p = y'$, тогда $y' = 4x^3 + C_1x^2$.
11. Проинтегрируем обе части уравнения по $x$: $\int y' dx = \int (4x^3 + C_1x^2) dx$.
12. Получаем: $y = x^4 + \frac{C_1}{3}x^3 + C_2$, где $C_2$ - константа интегрирования.
13. Переобозначим $\frac{C_1}{3} = C_3$, тогда $y = x^4 + C_3x^3 + C_2$.
Ответ: $y = x^4 + C_3x^3 + C_2$