Дано: Решить уравнение $(3x+5)^2 = (2x-1)^2$.
Решение:
1. Раскроем скобки, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$9x^2 + 30x + 25 = 4x^2 - 4x + 1$
2. Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$9x^2 - 4x^2 + 30x + 4x + 25 - 1 = 0$
3. Приведем подобные слагаемые:
$5x^2 + 34x + 24 = 0$
4. Решим квадратное уравнение $5x^2 + 34x + 24 = 0$. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4 \cdot 5 \cdot 24 = 1156 - 480 = 676$
5. Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 + \sqrt{676}}{2 \cdot 5} = \frac{-34 + 26}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 - \sqrt{676}}{2 \cdot 5} = \frac{-34 - 26}{10} = \frac{-60}{10} = -6$
6. Проверим корни:
Для $x_1 = -0.8$:
$(3 \cdot (-0.8) + 5)^2 = (-2.4 + 5)^2 = (2.6)^2 = 6.76$
$(2 \cdot (-0.8) - 1)^2 = (-1.6 - 1)^2 = (-2.6)^2 = 6.76$
Для $x_2 = -6$:
$(3 \cdot (-6) + 5)^2 = (-18 + 5)^2 = (-13)^2 = 169$
$(2 \cdot (-6) - 1)^2 = (-12 - 1)^2 = (-13)^2 = 169$
Ответ: $x_1 = -0.8$, $x_2 = -6$