Дано:
Решить уравнение:
$$ \frac{2x - 1}{x + 7} = \frac{3x + 4}{x - 1} $$

Решение:
1.  Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
    $x + 7 \neq 0 \implies x \neq -7$
    $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

2.  Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 7)(x - 1)$, чтобы избавиться от дробей. Это эквивалентно перекрестному умножению:
    $$ (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) $$

3.  Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
    Левая часть:
    $(2x - 1)(x - 1) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-1) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-1)$
    $= 2x^2 - 2x - x + 1$
    $= 2x^2 - 3x + 1$

    Правая часть:
    $(3x + 4)(x + 7) = 3x \cdot x + 3x \cdot 7 + 4 \cdot x + 4 \cdot 7$
    $= 3x^2 + 21x + 4x + 28$
    $= 3x^2 + 25x + 28$

    Таким образом, уравнение принимает вид:
    $$ 2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28 $$

4.  Перенесем все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Перенесем члены из левой части в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ остался положительным:
    $0 = 3x^2 - 2x^2 + 25x - (-3x) + 28 - 1$
    $0 = x^2 + 25x + 3x + 27$
    $$ x^2 + 28x + 27 = 0 $$

5.  Решим полученное квадратное уравнение $x^2 + 28x + 27 = 0$. Используем формулу дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
    Здесь $a = 1$, $b = 28$, $c = 27$.

    Вычислим дискриминант:
    $D = (28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27$
    $D = 784 - 108$
    $D = 676$

    Найдем квадратный корень из дискриминанта:
    $\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

    Найдем корни уравнения:
    $x_1 = \frac{-28 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$
    $x_2 = \frac{-28 - 26}{2 \cdot 1} = \frac{-54}{2} = -27$

6.  Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.
    Для $x_1 = -1$: $-1 \neq -7$ и $-1 \neq 1$. Корень $x_1 = -1$ подходит.
    Для $x_2 = -27$: $-27 \neq -7$ и $-27 \neq 1$. Корень $x_2 = -27$ подходит.

Ответ:
$x_1 = -1$, $x_2 = -27$.